Cronograma de Cálculo Diferencial e Integral I
Turno matutino, año 2002

    Funciones
  1. (martes 19/3) Funciones, funciones con dominio real y natural (sucesiones), definición de límite. Continuidad de una función real en un punto y en un intervalo. Funciones exponencial y logaritmo, potencias.
  2. (jueves 21/3) Límites de funciones, entornos, entornos reducidos. Continuidad. Ejemplos: f(x)=C (constante); f(x)=|x|; f(x)=sgn(x) (signo de x); f(x)=xm. Operaciones con funciones continuas.
  3. (viernes 22/3) Una función continua definida en un intervalo cerrado tiene máximo y mínimo (Teorema de Weierstrass); Una función f(x) continua, definida en [a,b], que verifica f(a)f(b)<0, tiene una raíz (Bolzano).
  4. (martes 2/4) Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica (recta tangente, tangente del ángulo) e interpretación física (velocidad). Composición de funciones, continuidad de la función compuesta, derivabilidad de la función compuesta (regla de la cadena). Teorema de Lagrange. Aplicaciones (1) una función con derivada nula es constante; (2) Una función con derivada positiva es creciente.
  5. (jueves 4/4) Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función inversa. Una función con derivada positiva es invertible. Gráfico de la función inversa.
  6. (viernes 5/4) Derivada de la función inversa. Ejemplos de funciones inversas, la exponencial y el logaritmo, el seno y el arcoseno, el coseno y el arcocoseno, la tangente y el arcotangente.
    Integrales
  7. (martes 9/4) Integrales. Problema del cálculo de áreas. Ejemplos: y(x)=h (constante); y(x)=mx; y(x)=x2. Partición P de un intervalo. Sumas superiores S(f,P) e inferiores s(f,P). Toda suma inferior es menor o igual que una suma superior. Definición de función integrable en un itervalo.
  8. (jueves 11/4) Criterio de integrabilidad (Una función es integrable, si y solo si, dado d positivo, existe una partición P tal que S(f,P)-s(f,P)<d. Integrabilidad de las funciones monótonas. Teorema del valor medio para integrales.
  9. (viernes 12/4) Teorema fundamental del cálculo integral. Propiedades: linealidad, monotonía.
  10. (martes 16/4)
  11. (jueves 18/4) Primitiva de una función y regla de Barrow. Método de integración por partes. Ejemplo: integración por recurrencia.
  12. (viernes 19/4) Método de sustitución o cambio de variable. Cambio de variable universal (t=tg(x/2)). Ejemplo: área de un círculo.
  13. (martes 23/4) Integración de cocientes de polinomios (método de fracciones simples).
  14. (jueves 25/4) Aplicaciones de la integral: cálculo de la masa de una superficie plana; baricentro; volumenes de revolución; longitud de un arco. Ejemplos: volumen de un cono, volumen del toro.
    Integrales impropias
  15. (viernes 26/4) Integrales impropias. Clasificación de integrales impropias en (a) convergentes y (b) no convergentes. Clasificación de integrales impropias no convergentes en (b1) divergentes a mas infintito, (b2) divergentes a menos infinito, (b3) oscilantes.
  16. (martes 30/4) Clasificación de integrales impropias. Integrales impropias de funciones no negativas. Criterio de comparación y del equivalente.
  17. (jueves 2/5) Integrales impropias convergentes y límite de la función integrando. Si el límite existe, es cero. Contraejemplo: Integral impropia convergente cuyo integrando no tiene límite. Clasificación de integrales impropias de funciones de signo arbitrario. Convergencia absoluta. Ejemplo: integral impropia que converge pero no converge absolutamente (f(x)=sen x/x).
  18. (vierenes 3/5) Ejemplo: integral impropia que converge pero no converge absolutamente (f(x)=sen x/x). Integrales impropias de segunda especie. Ejemplo: f(t)=ta en el intervalo [0,1], con a real.
  19. (martes 7/5) Integrales impropias mixtas. Ejemplo: Función Gama de Euler.
    Ecuaciones diferenciales
  20. (jueves 9/5) Ecuaciones diferenciales. Problemas de la física que conducen a ecuaciones diferenciales: caída libre, oscilador armónico simple. Ecuación lineal de primer orden.
  21. (viernes 10/5) Ecuaciones de variables separables. Ejemplo: tx'(t)+x(t)=x(t)2.
  22. (martes 14/5) Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes.
  23. (jueves 16/5) Ecuaciones lineales homogéneas de orden n.
  24. (viernes 17/5) Método de variación de constantes para ecuaciones lineales con coeficientes constantes no homogéneas de segundo orden. Ejemplo: Solución general de x''(t)+x(t)=tan t. Ecuaciones lineales de segundo orden: x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=0. Cambio de la variable dependiente x2(t)=u(t)x1(t), dada una solución x1(t). Ejemplo: Obtener por tanteo una solución de x''(t)-4x'(t)+t2[x'(t)-4x(t)]=0, y hallar la ecuación diferencial que verifica u(t).
    Aproximación de funciones por polinomios (Fórmula de Taylor)
  25. (martes 21/5) Fórmula de Taylor con restos integral y de Lagrange. Ejemplo: f(x)= ex
  26. (jueves 23/5) Algunos polinomios de Taylor (sen x, cos x). Aplicaciones: cálculo de límites; irracionalidad del número e.
  27. (viernes 24/5) Ejercicios de práctico. Cálculo de primitivas.
    Sucesiones de numeros reales
  28. (martes 28/5) Elementos de topología en la recta. Conjuntos abiertos, cerrados, acotados. Puntos de acumulación. Teorema de Bolzano-Weierstrass: Todo conjunto infinito y acotado de números reales tiene un punto de acumulación. Definición de sucesi&oaucute;n de números reales. Ejemplos.
  29. (jueves 30/5) Sucesiones de números reales. Numerabilidad. Ejemplos: los números enteros son numerables; los números racionales son numerables; los numeros reales no son numerables. Límite de una sucesión. Toda sucesión con límite está acotada (el recíproco no es cierto).
  30. (viernes 31/5) Sucesiones monótonas. Toda sucesión monótona y acotada tiene límite finito. Sucesiones definidas por recurrencia: a0=x; an+1=f(an). donde f(x) es una función real. Ejemplos: (a) Generación de numeros aleatorios (tecla "RND" de la calculadora). Parte entera [x] y parte fraccionaria frac(x) de un número real x. La sucesión definida por recurrencia con f(x)=frac(Ax+B) genera números aleatorios. (b) Sección aurea. Definimos la sucesión por recurrencia con a0=1; an+1=(1+an)1/2 Demostrar que es acotada, monótona creciente, y calculamos su límite, que es (1+51/2)/2, denomianda sección aurea o número de oro.
  31. (martes 4/6) No hay clase.
  32. (jueves 6/6) Juega Uruguay. No hay estudiantes.
  33. (viernes 7/6) Puntos de aglomeración. Subsucesiones. Toda sucesión acotada tiene alguna subsucesión convergente. Límites superior e inferior de una sucesión.
  34. (martes 11/6) Sucesiones de Cauchy. Una sucesión es de Cauchy, si y solo si, tiene límite finito.
  35. (jueves 13/6) Continuidad de funciones via sucesiones. Continuidad uniforme. Teorema: Una función continua definida en un intervalo cerrado es uniformemente continua.
  36. (viernes 14/6) Teorema: Una función continua es integrable.
    Series numéricas.
  37. (martes 18/6) Series numéricas. Pardoja de Zenón. Definiciones: término general de una serie (an), reducida n-enésima (An). Serie. Clasificación de serie en (a) convergentes y (b) no convergentes. Clasificación de series no convergentes en (b1) divergentes a mas infintito, (b2) divergentes a menos infinito, (b3) oscilantes. Ejemplos: 1) Serie geométrica: a+ax+ax2+ax3+... 2) Series telescópicas: an=Log(1+1/n). 3) Clasificación de la serie armónica, con an=1/n.
  38. (jueves 20/6) Ejercicio: Clasificación de la serie de término general an=1/(n(n+1)) (telescópica). Clasificación de series. Series de términos positivos. Criterio de comparación y del equivalente. Ejemplo: Clasificación de la serie armónica de término general an=1/n por comparación.
  39. (viernes 21/6) Criterio Integral. Clasificación de la serie armónica generalizada, de término general an=1/(na), discutiendo según a. Series de Bertrand (por ejemplo: an=1/(nLog n)). Criterios de Cauchy y de D'Alambert.
  40. (martes 25/6) Series de términos de signo alternado. Criterio de Leibniz. Ejemplo: clasificación de la serie armónica alternada: an=(-1)n/n. Constante de Euler. Si Hn=1+1/2+...+1/n; entonces Hn=log n + C + en, donde C=0.5772..., y en tiende a cero si n tiende a infinito. Suma de la serie armónica alternada: 1-1/2+1/3-1/4+...=log 2. Suma de la serie 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+...=(2/3)log 2.
  41. (jueves 27/6) Reordenación de series. Series convergentes absolutamente y condicionalmente. Teorema: Si una serie converge absolutamente, entonces cualquier reordenada converge a la misma suma (con demostración). Teorema de Riemman: Dada una serie condicionalmente convergente y una constante L, existe una reordenada de la serie dada que converge a L (con esquema de la demostración).
  42. (viernes 28/6) Series de Potencias. Ejemplos: serie geométrica. Desarrollo infinito de ex. Teorema: una función con infinitas derivadas admite un desarrollo en series de potencias si y solo si el resto del desarrollo de Taylor converge a cero (cuando n tiende a infinito). Ejemplos: desarrollos en series de potencias de las funciones sen(x) y cos(x). Teorema: Una serie de potencias tiene alguno de los tres siguientes comportamientos: (a) Converge absoultamente para todo x. (b) Converge absolutamente para todos x con |x|< R (y R es el máximo número con esa propiedad). (c) Converge solo en x=0. Definición: R es el radio de convergencia.
    Número complejo
  43. (martes 2/7) Número complejo. Definición como un par (a,b) de números reales. Igualdad, suma, producto de complejos. Propiedades de las operaciones (asociativa, conmutativa, distributiva). Existencia de neutro de la suma y el producto: resta y división de números complejos. Unidad imaginaria i=(0,1). Representación gráfica y notación polar.
  44. (jueves 4/7) Raices de polinomios de coeficientes reales. Enunciado del teorema fundamental del álgebra: todo polinomio tiene una raiz compleja. Producto de complejos en notación polar. Raíz enésima de un número complejo. Fórmula de De Moivre.
  45. (viernes 5/7) Teorema fundamental del álgebra: discusión de las raices de polinomios de grados 2 3 y 4. Proposición: Si un polinomio de coeficientes reales tiene una raiz, tiene como raíz a su conjugada. Exponencial compleja. Motivación: desarrollo en series de la función f(y)=eiy. Fórmulas de Euler para las líneas trigonométricas y aplicaciones. Logaritmo complejo; ejemplo: log(-1)=i(pi). Fórmula de Euler: ei(pi)+1=0.