Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2002.

Práctico 10

Ejercicios básicos

1. Encuentra los puntos de acumulación de cada uno de los siguientes conjuntos.

(−2, 0] ∪ (1, \sqrt{3})  A = \{ 2 − \frac{1}{n} / n ∈ ℕ^{∗} \}  A ∪ \{2\}  \{ x / x ≤ \sqrt{3} \} ∩ ℚ

2. Consideremos la sucesión (a_{n})_{n≥0} definida por:

a_{0} = 1 a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}}, ∀n ≥ 0.

Demuestra que (a_{n}) es monótona creciente y que está acotada superiormente. Deduce que converge y calcula su límite.

Ejercicios de nivel medio

3. Consideremos la sucesión (a_{n})_{n≥0} definida por:

a_{0} = \sqrt{3} a_{n+1} = \sqrt{3a_{n}}, ∀n ≥ 0.

Demuestra que (a_{n}) es monótona creciente y que está acotada superiormente. Deduce que converge y calcula su límite.

4. Consideremos la sucesión (x_{n})_{n≥0} definida por:

x_{0} = a > 0 x_{n+1} = \sqrt{2x_{n}^{2} + 1}, ∀n ≥ 0.

(a) Demuestra que es creciente pero que no tiene límite finito.

(b) Calcula lim \frac{x_{n+1}}{x_{n}}

(c) Para a = 0 encuentra una fórmula explícita para x_{n}.

5. Dado un número λ > 0 consideremos la sucesión (x_{n})_{n∈N} dada por:

x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{λ}{x_{n}} ) , ∀n ≥ 0, x_{0} > \sqrt{λ}

(a) Prueba que (x_{n}) es decreciente y que está acotada inferiormente por \sqrt{λ}. Deduce que converge y prueba que su límite es \sqrt{λ}.

(b) Sea ϵ_{n} = x_{n} − \sqrt{λ}. Muestra que:

ϵ_{n+1} = \frac{ϵ_{n}^{2}}{2 x_{n}}  y  ϵ_{n+1} < 2 \sqrt{λ} (\frac{ϵ_{1}}{2\sqrt{λ}})^{2^{n}} , ∀n ≥ 0

(c) Usando lo anterior y admitiendo que \frac{2−\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} < \frac{1}{10}, calcula \sqrt{3} con un error menor que 10^{−7}.

6. Consideremos la sucesión (x_{n})_{n≥0} definida por:

x_{0} = 0 x_{n+1} = \frac{6 + x_{n}}{6 − x_{n}} , ∀n ≥ 0.

Demuestra que converge y calcula su límite.

7. Se dice que ((a_{n}), (b_{n})) es un Par de Sucesiones Monótonas Convergentes si se cumple que:

i) a_{n} ≤ b_{n}, ∀n ≥ 1. ii) (a_{n}) es creciente y (b_{n}) es decreciente. iii) lim (b_{n} − a_{n}) = 0.

(a) Prueba que si ((a_{n}), (b_{n})) es un P.S.M.C. entonces existe un único número real L con a_{n} ≤ L ≤ b_{n}, ∀n ≥ 1, tal que (a_{n}) ⟶ L^{−} y (b_{n}) ⟶ L^{+}.

(b) En cada uno de los siguientes casos, investiga si ((a_{n}), (b_{n})) es un P.S.M.C.

\begin{cases}a_{n} = 2 − 1/n^{2} \\ b_{n} = 2 + 1/n^{2} \end{cases}  \begin{cases}a_{n} = (2n − 1)/(n + 2) \\ b_{n} = (6n + 8)/(3n − 1) \end{cases}  \begin{cases}a_{n} = (n − 1)/(n + 1) \\ b_{n} = (n + 1)/(n − 1) \end{cases}

8. Dados dos números positivos a y b con a < b consideremos las sucesiones (a_{n}) y (b_{n}) definidas por:

\begin{cases}a_{0} = a, \\ a_{n+1} = \sqrt{a_{n}b_{n}}, & para n=0,1, … \end{cases}  \begin{cases}b_{0} = b, \\ b_{n+1} = \frac{a_{n}+b_{n}}{2} , & para n=0,1, … \end{cases}

Prueba que ((a_{n}), (b_{n})) es un Par de Sucesiones Monótonas Convergentes.

9. Encuentra todos los puntos de aglomeración, lim sup y lim inf de las siguientes sucesiones:

a_{n} = \frac{1 + (−1)^{n}}{2}  a_{n} = n^{2} [1 + (−1)^{n}]  a_{n} = \frac{n − 1}{n + 1} cos \frac{2nπ}{3}  a_{n} = 1 + \frac{n}{n + 1} cos \frac{nπ}{2}

10. (a) Encuentra una sucesión que aglomere en p puntos dados.

(b) Encuentra una sucesión que aglomere en todos los puntos del conjunto { α_{n} / n ≥ 1 }.

(c) ¿Existe alguna sucesión cuyos puntos de aglomeración sean exactamente los puntos del conjunto { 1/n / n ∈ ℕ^{∗} } ?

Ejercicios optativos

11. Sea (a_{n}) una sucesión acotada de números positivos. Demuestra que

lim inf \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≤ lim inf \sqrt[n]{a_{n}} ≤ lim sup \sqrt[n]{a_{n}} ≤ lim sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}

(Puedes consultar la página 113 del libro “Curso de Análise Vol. I” de Elon Lages Lima). De lo anterior resulta que si lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}} existe, entonces también existe lim \sqrt[n]{a_{n}} y ambos límites coinciden. Encuentra un ejemplo para el cual lim \sqrt[n]{a_{n}} exista y sin embargo lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}} no exista.

12. Consideremos las sucesiones dadas por:

(a_{n})_{n∈N} / a_{n} = sen(nα)  (b_{n})_{n∈N} / b_{n} = cos(nα)  (α ≠ kπ)

(a) Expresa a_{n+1} y b_{n+1} en función de a_{n} y b_{n} usando las conocidas fórmulas de seno y coseno de una suma. Demuestra que existe lim(a_{n}) si y sólo si existe lim(b_{n}).

(b) Demuestra que ni (a_{n}) ni (b_{n}) tienen límite.

(c) Si \frac{α}{π} ∈ Q prueba que ambas sucesiones aglomeran en un número finito de puntos.

(d) Si \frac{α}{π} ∉ Q prueba que ambas sucesiones aglomeran en todos los puntos del [−1, 1] (?!!!). (Para esto te sugerimos que uses (y previamente pruebes) que si β ∉ ℚ entonces el conjunto { mβ + n / m, n ∈ ZZ } es denso en ℝ.)