Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2002.

Práctico 11

Ejercicios de nivel medio

1. Demuestra que x es punto de acumulación de S si, y sólo si, existe una sucesión de puntos de S, distintos dos a dos, que converge a x.

2. (a) Sean f : ℝ ⟶ ℝ y g : ℝ ⟶ ℝ funciones continuas. Demuestra que si f(r) = g(r), ∀r ∈ ℚ

entonces f(x) = g(x), ∀x ∈ ℝ.

(b) Sea f : ℝ ⟶ ℝ continua tal que f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ ℝ. Demuestra que: (i) f(n) = f(1).n ∀n ∈ ℕ. (ii) f(0) = 0 y f(−1) = −f(1). (iii) f(m) = f(1).m ∀m ∈ ZZ. (iv) f(r) = f(1).r ∀r ∈ ℚ.

(v) f(x) = f(1).x ∀x ∈ ℝ.

3. (a) Sea g : ℝ^{+} ⟶ ℝ continua tal que g(x.y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ ℝ^{+}. Determina la función

g.

(b) Sea h : ℝ ⟶ ℝ^{+} continua tal que h(x + y) = h(x).h(y), ∀x, y ∈ ℝ. Determina la función h.

4. (a) Si f y g son uniformemente continuas en I demuestra que también lo son f + g y f.g.

(b) Estudia la continuidad uniforme de las siguientes funciones en los dominios que se indican: (i) f(x) = \frac{x}{4−x^{2}} en [−1, 1]. (ii) f(x) = Lx en (0, 1) (iii) f(x) = \sqrt{x} en [1, +∞). (iv) f(x) = e^{x}cos (\frac{1}{x}) en (0, 1).

(v) f(x) = x^{2} en (−a, a) y en ℝ. (vi) f(x) = x + sen(x) en ℝ.

(c) Demuestra que si f es uniformemente continua en [a, c] y en [c, b] también lo es en [a, b].

(d) Muestra que f(x) = |sen(x)|/x es uniformemente continua en (−1, 0) y en (0, 1). ¿Es uniformemente continua en (−1, 0) ∪ (0, 1)?.

5. Demuestra que si f : [a, +∞) ⟶ ℝ es continua y lim_{x⟶+∞} f(x) = L ∈ ℝ entonces f está acotada y es uniformemente continua en [a, +∞).

6. Una función f : X ⟶ ℝ se dice Lipschitziana si existe K > 0 tal que

|f(x) − f(y)| ≤ K |x − y| , ∀ x, y ∈ X.

(a) Prueba que si f es Lipschitziana en X entonces es uniformemente continua en X.

(b) El recíproco es falso (considera f(x) = \sqrt{x} en [0, 1]).

(c) Prueba que f(x) = \sqrt{x} es Lipschitziana en [1, +∞) y que es uniformemente continua en [0, +∞).