Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2002.

Práctico 12

Ejercicios básicos

1. Sea (a_{n})_{n≥1} de la cual se sabe que

A_{n} = a_{1} + a_{2} + …. + a_{n} = \frac{2n + 1}{n + 3} (n ≥ 1).

(a) Clasifica la serie ∑_{n=1}^{∞} a_{n} y, en caso de convergencia, calcula su suma.

(b) Calcula a_{1} y determina a_{n} para cada n ≥ 2.

2. En cada uno de los siguientes casos clasifica ∑ a_{n}

a_{n} = cos \frac{1}{n}  a_{n} = \frac{1}{2^{n}} + e^{n}  a_{n} = \frac{2n + 1}{n^{2}(3n + 5)}  a_{n} = \frac{n^{3} − 1}{3n^{3} + 2n^{2} − 4n − 9}

3. Clasifica las siguientes series y, en caso de convergencia, encuentra la suma de las mismas.

∑_{n=1}^{∞} (\frac{2}{3})^{n−1}  ∑_{n=1}^{∞} (−\frac{5}{4})^{n−1}  ∑_{n=0}^{∞} e^{−n}

Ejercicios de nivel medio

4. Clasifica las siguientes series y, en caso de convergencia, encuentra la suma de las mismas.

∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{n^{2}} − \frac{1}{(n + 1)^{2}} )  ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}}{\sqrt{n^{2} + n}}  ∑_{n=0}^{∞} \frac{2^{n} + 3^{n}}{6^{n}}  ∑_{n=0}^{∞} \frac{2n + 1}{3^{n−1}}

5. En cada uno de los siguientes casos se te da una sucesión (a_{n})_{n≥1} y se te pide:

(a) Encontrar una expresión para A_{n} = a_{1} + a_{2} + …. + a_{n}

(b) Calcular lim(A_{n}) (en caso que exista).

(c) Clasificar la serie ∑_{n=1}^{∞} a_{n} y, en caso de convergencia, calcular su suma.

a_{n} = n  a_{n} = ∫_{n}^{n+1} e^{−x}  a_{n} = L (1 + \frac{(−1)^{n+1}}{n} )

6. Utilizando el “criterio integral” demuestra que ∑_{n=1}^{∞} e^{−n^{2}} converge y que ∑_{n=1}^{∞} e^{−n^{2}} ≤ 2e^{−1}.

7. Sean (a_{n}), (b_{n}) y (c_{n}) sucesiones tales que: 0 < b_{n} < a_{n} < 1, ∀n ≥ 1, ∑_{n=1}^{∞} a_{n} converge, y c_{n} = \frac{1−a_{n}}{1+b_{n}}. Clasifica:

∑_{n=1}^{∞} b_{n}  ∑_{n=1}^{∞} c_{n}  ∑_{n=1}^{∞}(1 − c_{n})

8. Sabiendo que a_{n} > 0 y que ∑ a_{n} converge, clasifica las siguientes series o muestra con ejemplos que no es posible afirmar nada.

∑ \frac{1}{a_{n}}  ∑ a_{n}^{2}  ∑ \sqrt{a_{n}}  ∑ L(1 + a_{n})

9. Sea f una función de clase C^{2} en algún entorno de a y sea y = t(x) la ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto (a, f(a)). Si ϕ(x) = f(x) − t(x) ¿qué se puede decir del comportamiento de la serie ∑ ϕ (a + \frac{1}{n})?

10. En cada uno de los siguientes casos clasifica ∑ a_{n}

a_{n} = L (1 + \frac{1}{n^{3}} )  a_{n} = e^{1/n^{2}} − 1  a_{n} = \frac{(sen n)^{2}}{n^{2}}  ∑_{n=1}^{∞} \frac{2 − cos \frac{1}{n}}{n^{α}} (α ∈ ℝ).

a_{n} = \frac{1}{n^{2}} − sen \frac{1}{n^{2}}  a_{n} = \frac{1}{n} − sen \frac{1}{n}  a_{n} = 1 − cos \frac{1}{\sqrt{n}} + L (1 + \frac{1}{\sqrt{n}}) − sen \frac{1}{\sqrt{n}}

a_{n} = (\frac{2n − 1}{5n + 8})^{n}  a_{n} = (\frac{n + 1}{n})^{n}  a_{n} = n^{q}e^{−γn} (q ∈ ℝ, γ > 0)

a_{n} = \frac{2^{n}}{n^{n}}  a_{n} = \frac{2^{n} n!}{n^{n}}  a_{n} = \frac{3^{n} n!}{n^{n}}  a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}  a_{n} = \frac{n!}{(2n)!}

11. Prueba que las siguientes series son absolutamente convergentes y encuentra cotas (inferiores y superiores) de sus sumas.

∑_{n=1}^{∞} \frac{sen n}{n^{3}}  ∑_{n=1}^{∞} \frac{2 + (−1)^{n}}{2^{n}}  ∑_{n=1}^{∞} \frac{1 − 2sen \frac{1}{n}}{n^{3}}

12. Clasifica las series de término general:

\frac{(−1)^{n}}{nLn}  (−1)^{n} L (1 + \frac{1}{n})  (−1)^{n} (1 − nsen (\frac{1}{n}))  (−1)^{n} L (1 + \frac{(−1)^{n}}{\sqrt[3]{n}} )

13. Clasifica:

∑ \frac{(−1)^{n}}{Ln}  ∑ \frac{(−1)^{n}}{Ln + (−1)^{n}}

14. Criterio de Raabe. Sean (a_{n}) y (b_{n}) dos sucesiones positivas. Sea

c_{n} = b_{n} − \frac{b_{n+1}a_{n+1}}{a_{n}} .

(a) Prueba que si existe r > 0 tal que c_{n} ≥ r para todo n ≥ N, entonces ∑ a_{n} converge. (Sugerencia: prueba que ∑_{k=N}^{n} a_{k} ≤ a_{N}b_{N}/r.)

(b) Prueba que si c_{n} ≤ 0 para n ≥ N y ∑ 1/b_{n} diverge, entonces ∑ a_{n} diverge.

(c) Aplica (a) y (b) con b_{n} = n − 1 para deducir el criterio de Raabe:

i. Si existen r > 0 y N ≥ 1 tal que

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≤ 1 − \frac{1}{n} − \frac{r}{n}

para todo n ≥ N, entonces ∑ a_{n} converge. ii. Si a_{n+1}/a_{n} ≥ 1 − 1/n para todo n ≥ N, entonces ∑ a_{n} diverge. iii. Encuentra una “versión” del criterio de Raabe con “paso al límite”. Clasifica

∑ \frac{(2n − 1)!!}{(2n)!!}  ∑ \frac{e^{n} n!}{n^{n}}

Ejercicios optativos

15. Sean {a_{k}} y {b_{k}} sucesiones de reales y A_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}, B_{n} = ∑_{k=1}^{n} b_{k}.

(a) Prueba que ∑_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} = ∑_{k=1}^{n} A_{k}(b_{k} − b_{k+1}) + A_{n}b_{n+1}. (fórmula de Abel).

(b) Prueba el criterio de Dirichlet: si A_{n} es acotada y b_{n} decrece a 0, entonces ∑ a_{n}b_{n} converge.

(c) Prueba el criterio de Abel: si ∑ a_{n} converge y b_{n} es monótona convergente, entonces ∑ a_{n}b_{n} converge.

(d) Clasifica ∑ \frac{sen(na)}{n} y ∑ \frac{cos(na)}{n} a ∈ R (sugerencia: utilizar que e^{x+iy} = e^{x}(cosy + iseny) y relacionar sen(na) y cos(na) con e^{ina} y e^{−ina}).

16. Clasifica ∑ \frac{(−1)^{n}Ln}{n^{α}} ∑ \frac{(−1)^{n}}{n+(−1)^{n}} ∑ \frac{(−1)^{n}(n+Ln)}{n^{2}}

17. Fórmula de Stirling. En este ejercicio se demostrará que n! = \sqrt{2πn}n^{n}e^{−n}(1 + α_{n}), donde α_{n} → 0 cuando n → ∞.

(a) Prueba que ∫_{k−1}^{k} Lxdx ≤ Lk ≤ ∫_{k}^{k+1} Lxdx ∀k = 1, 2, 3..., n y sumando desde 1 a n, deducir que nLn − n ≤ Ln! ≤ (n + 1)L(n + 1) − n.

(b) Sea d_{n} = Ln!−(n+ \frac{1}{2})Ln+n. Prueba que d_{n}−d_{n+1} = (n+ \frac{1}{2})L\frac{n+1}{n} −1 y usando el desarrollo de Taylor en 0 de \frac{1}{2}L\frac{1+t}{1−t} deduce que d_{n} es decreciente y que d_{n} − d_{n+1} ≤ \frac{1}{12n} − \frac{1}{12(n+1)}. Sea c = lim d_{n}. Deducir que lim \frac{n!e^{n}}{n^{n+ \frac{1}{2}}} = e^{c}. Sólo resta probar que c = L(\sqrt{2π}).

(c) Sea I_{n} = ∫0^{\frac{π}{2}} sen^{n}xdx. Prueba que I_{n} = \frac{n−1}{n}I_{n−2} y deduce que I_{2k} = \frac{(2k−1)(2k−3)....3.1}{2k(2k−2)....4.2} \frac{π}{2} y

que I_{2k+1} = \frac{2k(2k−2)....4.2}{2k+1)(2k−1)....5.3}.

(d) Prueba que lim \frac{I_{2k+2}}{I_{2k}} = 1 y observando que I_{n} es decreciente, deduce que lim \frac{I_{2k+1}}{I_{2k}} = 1.

(e) Deduce que c = L(\sqrt{2π}).

18. Sea (a_{n}) la sucesión definida por

a_{2n−1} = \frac{1}{n}, a_{2n} = ∫_{n}^{n+1} \frac{dx}{x}

para n = 1, 2, . . ..

(a) Prueba que

∑_{n=1}^{+∞}(−1)^{n}a_{n}

converge. Denotamos su suma por C.

(b) Si S_{n} es la suma parcial de ∑(−1)^{n}a_{n}, prueba que

S_{2n−1} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − log n

y deduce que

∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = log n + C + o(1)  y  ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} ∼ log n.

Esto nos dá la velocidad con que diverge la serie armónica. La constante C se llama constante de Euler. Sus primeras cifras son C = 0,577215 … y no se sabe si es racional o irracional.

19. Consideremos los siguientes conjuntos: V = { sucesiones de números reales } l^{∞}(I C) = { (x_{n}) ∈ V / (x_{n}) está acotada } l^{0}(I C) = { (x_{n}) ∈ V / (x_{n}) ⟶ 0 } l^{1}(I C) = { (x_{n}) ∈ V / ∑ |x_{n}|) converge } l^{2}(I C) = { (x_{n}) ∈ V / ∑ |x_{n}|^{2}) converge }

(a) Demuestra que l^{1}(I C) ⊂ l^{2}(I C) ⊂ l^{0}(I C) ⊂ l^{∞}(I C) ⊂ V y que cada uno de ellos es un subespacio vectorial del “siguiente”.

(b) Si x = (x_{n}) e y = (y_{n}) están en l^{2}(I C) definimos

⟨ x , y ⟩ = ∑_{n=1}^{∞} x_{n} \overline{y_{n}}

Demuestra que ⟨ , ⟩ es un producto interno en l^{2}(I C).