Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2002.

Práctico 2

Ejercicios básicos

1. Sea f : [−1, 2] → R tal que f(x) = 1 + x + L|x + 2|.

(a) Halla f([−1, 2]) justificando la respuesta.

(b) Prueba que f : [−1, 2] → f([−1, 2]) es invertible.

(c) Calcula (f^{−1})′(1 + L2).

2. Aplicando la fórmula de la derivada de la función inversa deduce que la derivada de \sqrt{x} es \frac{1}{2 \sqrt{x}} (x > 0).

3. Demuestra la siguiente identidad:

Arctg(x) + Arctg (\frac{1}{x}) = \{ \begin{matrix}\frac{π}{2} , & si, x > 0. \\ −\frac{π}{2} , & si, x < 0. \end{matrix}

Ejercicios de nivel medio

4. Consideremos las funciones:

f : f(x) = −2 Arctg (\sqrt{\frac{1 − x}{x}}) g : g(x) = Arcsen(2x − 1)

(a) Halla los dominios de f y g.

(b) Halla f′(x) y g′(x). ¿Qué relación hay entre f y g ?

(c) Grafica f y g.

5. Discute la concavidad de f^{−1} según el crecimiento y la concavidad de f. Hacerlo geométricamente y analíticamente.

6. Consideremos las funciones definidas en todo ℝ por:

sh x = \frac{e^{x} − e^{−x}}{2}  ch x = \frac{e^{x} + e^{−x}}{2}  th x = \frac{sh x}{ch x}

Estas funciones se llaman “seno hiperbólico”, “coseno hiperbólico”y “tangente hiperbólica”respectivamente. En este ejercicio te pedimos que pruebes las siguientes relaciones y afirmaciones:

(a) ch^{2}(x)−sh^{2}(x) = 1, sh′(x) = ch(x), ch′(x) = sh(x), th′(x) = 1−th^{2}(x) = \frac{1}{ch^{2}(x)} ∀x ∈ ℝ.

(b) Las funciones sh : ℝ → ℝ ch : [0, +∞) → [1, +∞) th : ℝ → (−1, 1) tienen sendas funciones inversas que se simbolizan Argsh, Argch, y Argth respectivamente.

(c) Argsh′(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} ∀x ∈ ℝ, Argch′(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}−1}} ∀x ∈ (1, +∞), Argth′(x) = \frac{1}{1−x^{2}} ∀x ∈ (−1, 1).

(d) Grafica las funciones hiperbólicas y sus inversas.

Ejercicios optativos

7. (a) Prueba que si g tiene derivada continua en a y g′(a) ≠ 0 entonces g es inyectiva en algún

entorno de a.

(b) Consideremos la función f dada por:

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x}{2} + x^{2} sen (\frac{1}{x}) , & si x ≠ 0. \\ 0, & si x = 0. \end{matrix}

Prueba que f′(0) = 1/2 y que, sin embargo, f no es inyectiva en ningún intervalo que contenga al 0.