Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2002.

Práctico 4

Ejercicios básicos

1. En cada uno de los siguientes casos se define una función f y se da el valor de la ∫_{a}^{b} f. Calcula el o los números “c”del Teorema del Valor Medio.

(a) f(x) = x^{2}, ∫_{0}^{1} f = \frac{1}{3}

(b) f(x) = x^{2}, ∫_{−2}^{2} f = \frac{16}{3}

(c) f(x) = sen x, ∫_{0}^{π} f = 2

(d) f(x) = \{ \begin{matrix}x, & si x ≤ 1 \\ 2 − x, & si x > 1 \end{matrix} ∫_{0}^{2} f = 1.

2. Sea f una función continua en [2, 8] tal que ∫_{2}^{8} f = 20 y ∫_{8}^{4} f = 12. Calcula ∫_{2}^{4} f y demuestra que existe un c ∈ [2, 4] tal que f(c) = 16.

3. (a) Las funciones f : f(x) = 2x y g : g(x) = 3x^{2} son tales que:

∫_{0}^{1} f = ∫_{0}^{1} g = 1 y ∫_{0}^{1}(f − g) = 0

Halla el punto “c”del Teorema del Valor Medio para cada una de las tres integrales, verifica que dichos puntos son distintos dos a dos, y realiza la correspondiente interpretación gráfica.

(b) Encuentra un ejemplo de dos funciones f y g diferentes tales que ∫_{0}^{1} f = ∫_{0}^{1} g y que los puntos del Teorema del Valor Medio para ∫_{0}^{1} f , ∫_{0}^{1} g y ∫_{0}^{1}(f − g) sean coincidentes.

4. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

F (x) = ∫_{1}^{x} \frac{e^{t}}{3 + sen(t)} dt, G(x) = ∫_{0}^{x^{2}} \frac{1 + \sqrt{t}}{2 + t} dt,

H(x) = ∫_{2x+5}^{3} e^{1−t} sen(t) dt J(x) = ∫_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{t^{7}}{1 + t^{4}} dt

5. En cada uno de los siguientes casos, encuentra la función continua f, el número real λ y el valor de la ∫_{0}^{1} f sabiendo que se cumple la igualdad indicada:

(a) ∫_{0}^{x} f = λ − e^{−x^{2}} , ∀x ∈ R.

(b) ∫_{1}^{x} f = L(x^{2} + 2x + 2) − λ , ∀x ∈ R.

(c) ∫_{λ}^{x} f = (x − 1)^{4} , ∀x ∈ R.

Ejercicios de nivel medio

6. En las mismas hipótesis que en el ejercicio 2, demuestra que hay un x_{0} ∈ [2, 8] tal que f(x_{0}) = 1.

7. Sean F y G dadas por:

F (x) = \frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} + Arctg x) G(x) = ∫_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2} + 1)^{2}} dt

Demuestra que F (x) = G(x), ∀x ∈ ℝ.

8. Demuestra que cualquiera que sea x > 0 vale:

∫_{1}^{x} \frac{2}{1 + t^{2}} dt = ∫ x_{\frac{1}{x}} \frac{1}{1 + t^{2}} dt

9. En las siguientes partes se te sugiere usar convenientemente el teorema del valor medio para integrales.

(a) Sea f una función continua en un intervalo abierto I y sea x_{0} un punto de I. Demuestra que lim_{h→0} ∫_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t) dt = 0.

(b) Demuestra que para cada p > 0 se cumple que lim_{n⟶+∞} ∫_{n}^{n+p} \frac{sen x}{x} dx = 0.

(c) Demuestra que lim_{x⟶+∞} ∫_{x}^{x^{3}} e^{−t^{2}} dt = 0.

10. Consideremos la función f dada por f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}. Halla el máximo y el mínimo de f en [0, 1]. Si se sabe que ∫_{0}^{1} x^{8} dx = \frac{1}{9}, deduce que:

\frac{1}{9\sqrt{2}} ≤ ∫_{0}^{1} \frac{x^{8}}{\sqrt{1 + x}} dx ≤ \frac{1}{9}

11. Halla la función continua f, el número real λ y la ∫_{0}^{1} f sabiendo que se cumple la igualdad

indicada:

∫_{0}^{x} f = λ − x|x| , ∀x ∈ R.

12. Sean F y G dadas por:

F (x) = ∫_{0}^{x} Arctg(t^{2}) dt G(x) = ∫_{0}^{x} Arctg (\frac{t^{2} − 1}{t^{2} + 1}) dt

Halla F′′ y G′′ y encuentra la relación que existe entre F (x) y G(x).

13. Sea f : [0, 1] ⟶ ℝ la función definida por:

f(x) = \{ \begin{matrix}x sen \frac{π}{x}, & si x ≠ 0. \\ 0, & si x = 0. \end{matrix}

Prueba que −\frac{1}{2} ≤ ∫_{0}^{1} f ≤ \frac{1}{2}.

14. Demuestra el segundo teorema del valor medio que puede enunciarse de la siguiente manera: Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tal que g es no negativa en [a, b] y ∫_{a}^{b} g ≠ 0. Entonces existe algún punto c ∈ [a, b] tal que ∫_{a}^{b} f.g = f(c) ∫_{a}^{b} g.

15. Se consideran las siguientes funciones definidas en todo ℝ como sigue:

F : F (x) = Arctg(x) − \frac{x}{x^{2} + 1} G : G(x) = ∫ \frac{x^{2}}{x^{2}+1} ; \frac{1}{2} \sqrt{\frac{t}{1 − t}} dt

(a) Calcula F′(x), G′(x), F (1), G(1) y deduce la relación entre F y G en [0, +∞). Calcula G(0).

(b) Halla la relación que existe entre F y G en (−∞, 0).