Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2002.

Práctico 4

Ejercicios básicos

1. Calcula las siguientes integrales:

∫_{1}^{2} (3x^{2} − 4x + 7 − \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}) dx ,  ∫_{1}^{4} \frac{6x − 5\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}} dx ,  ∫_{0}^{1} (2x − \frac{1}{x + 1}) dx ,

∫0^{\frac{π}{4}} (1 + tg^{2}(x) − 2cosx) dx ,  ∫_{−2}^{1} e^{−|x|} dx ,  ∫_{1}^{2} (\frac{5}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2} + 1}) dx

2. Calcula ∫_{0}^{3} (|2x − 1| + |2x − 4|) dx

3. Si f(t) = 1 − 3t encuentra una fórmula explícita para F (x) = ∫_{0}^{x} f. Grafica f y F en [−2, 3].

4. Aplica el método de integración por partes para calcular:

a) ∫_{0}^{π} x senx dx b) ∫_{1}^{2} x^{2} Lx dx

Ejercicios de nivel medio

5. Calcula:

a) ∫_{0}^{1} x^{2} e^{−x} dx b) ∫_{1}^{x} t^{2} (Lt)^{3} dt, (x > 0).

c) ∫_{1}^{x} Lt dt, (x > 0). d) ∫_{0}^{x} e^{at} sen(bt) dt

6. Encuentra una fórmula de recurrencia para la siguiente sucesión y verifícala.

I_{n}(x) = ∫_{1}^{x} (Lt)^{n} dt, x > 0, n ∈ N, n ≥ 0.

7. Para cada n ∈ N, n ≥ 0 consideremos:

I_{n}(x) = ∫_{1}^{x} \frac{(Lt)^{n}}{t^{2}} dt (x > 1).

(a) Calcula I_{0}(x).

(b) Halla una relación de recurrencia entre I_{n}(x) e I_{n−1}(x) para n ≥ 1.

(c) Calcula I_{3}(x).

8. Para cada n ∈ N, n ≥ 0 consideremos:

I_{n} = ∫_{0}^{1} (1 − x^{2})^{n} dx

(a) Calcula I_{0}.

(b) Utilizando integración por partes demuestra que I_{n} = \frac{2n}{2n+1}I_{n−1}, ∀n ≥ 1.

(c) Calcula I_{4}.

9. Sea f una función con derivada segunda continua en [0, π] que cumple ∫_{0}^{π} [f(x) + f′′(x)] cosx dx = 0. Demuestra que f′(π) = −f′(0).

10. Sea f una función con derivada continua en [0, 1], tal que f(1) = 1, f(t) ≥ 0, ∀ t ∈ [0, 1], f′(t) ≥ 0, ∀ t ∈ [0, 1] que verifica:

∫_{0}^{x} t f′(t) dt ≥ \frac{x^{2}}{2} ∀x ∈ [0, 1].

(a) Demuestra que, para cada x ∈ [0, 1] se cumple:

F (x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt ≤ min\{ x , 1 − \frac{x^{2}}{2} \}

(b) ¿Existe alguna función f que cumpla con las condiciones del enunciado?

11. Halla una fórmula de recurrencia para cada una de las siguientes sucesiones. En cada caso se te pide que la verifiques y que calcules I_{3}(x):

I_{n}(x) = ∫_{0}^{x} t^{n} sent dt I_{n}(x) = ∫_{0}^{x} sen^{n}t dt

12. Calcula: ∫_{1}^{x} sen(Lt) dt , x > 0.

Ejercicios optativos

13. Sea f una función acotada en [a, b] y continua salvo en un punto c ∈ [a, b]. Demuestra que f es integrable Riemann en [a, b].

14. Encuentra una función NO integrable Riemann que tenga primitiva. (Se te sugiere buscar una función derivable en [−1, 1] cuya derivada no esté acotada).