Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2002.

Práctico 5

Ejercicios básicos

1. Calcula las siguientes integrales:

a) ∫0^{\frac{π}{2}} senx e^{cosx} dx  b) ∫_{−1}^{0} x^{2} \sqrt{4 + 3x^{3}} dx  c) ∫_{1}^{e} \frac{L^{3}x}{x} dx

d) ∫0^{\frac{π}{4}} tg(x) dx  e) ∫_{0}^{1} \frac{Arctg x}{x^{2} + 1}dx  f) ∫0^{\frac{π}{2}} sen^{3}x dx

2. Sabiendo que f es continua en [0, 4] y que ∫_{0}^{4} f = 10, calcula ∫_{0}^{2} f (x^{2}) 2x dx.

3. En cada uno de los casos que se presentan a continuación se ha aplicado el teorema de sustitución. Comprueba que lo que se ha hecho es correcto, identificando las funciones f y g del enunciado del teorema, y verificando el cumplimiento de las hipótesis del mismo.

∫_{1}^{2} x^{2} e^{9−x^{3}} dx = −\frac{1}{3} ∫_{8}^{1} e^{u} du ∫0^{\frac{3π}{2}} sen^{3}x cosx dx = − ∫_{−1}^{0} u^{3} du

Ejercicios de nivel medio

4. Calcula las siguientes integrales:

a) ∫ \frac{π}{2} ; \frac{π}{4} \frac{cosx}{senx} dx  b) ∫_{0}^{1} x^{2} e^{x^{3}} dx  c) ∫_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x Lx} dx

d) ∫_{0}^{1} \frac{x}{1 + x^{2}} dx  e) ∫_{1}^{e} \frac{Lx}{Lx + 1} \frac{1}{x} dx  f) ∫_{0}^{1} \frac{x + 1}{(x^{2} + 2x + 1)^{3}} dx

5. Calcula las siguientes integrales:

a) ∫_{0}^{4} \frac{1}{1 + \sqrt{u}} du b) ∫_{0}^{1} L(1 + \sqrt{u}) du

6. Consideremos la función:

g : g(x) = ∫_{1}^{x} \frac{Lt}{1 + t^{2}} dt , x > 0

Efectuando la sustitución t = \frac{1}{z} demuestra que g(x) = g (\frac{1}{x}).

7. Sea f : ℝ ⟶ ℝ una función continua. Demuestra que si f es impar (esto quiere decir que f(−x) = −f(x), ∀x ∈ ℝ), entonces ∫_{−a}^{a} f = 0, cualquiera que sea el número a. Si f es par (esto quiere decir que f(−x) = f(x), ∀x ∈ ℝ), demuestra que ∫_{−a}^{a} f = 2 ∫_{0}^{a} f. En ambos casos te sugerimos hacer la sustitución u = −x.

8. Calcula las siguientes integrales (n y m son naturales mayores o iguales que 1)

a) ∫_{−π}^{π} sen(nx) cos(mx) dx  b) ∫_{−π}^{π} sen(nx) sen(mx) dx  c) ∫_{−π}^{π} cos(nx) cos(mx) dx

Sugerencia: Para a) observa que el integrando es una función impar. Para b) y c) puede resultarte útil usar las siguientes fórmulas trigonométricas: sen(A) sen(B) = \frac{1}{2}(cos(B − A) − cos(A + B)) cos(A) cos(B) = \frac{1}{2}(cos(B − A) + cos(A + B))

9. (a) Sea Φ : [0, 1] ⟶ ℝ una función continua. Haciendo la sustitución u = π − x demuestra que

∫_{0}^{π} x Φ(sen x) dx = \frac{π}{2} ∫_{0}^{π} Φ(sen x) dx

(b) Calcula:

∫_{0}^{π} x \frac{sen x}{1 + cos^{2}x} dx ∫_{0}^{π} x sen^{5}x cos^{4}x dx

10. (a) Prueba que:

∫_{0}^{1} x^{p} (1 − x)^{q} dx = ∫_{0}^{1} x^{q} (1 − x)^{p} dx = ∫0^{\frac{π}{2}} (sen t)^{2p+1} (cos t)^{2q+1} dt

(b) Calcula:

∫_{0}^{1} x^{2} (1 − x)^{20} dx ∫0^{\frac{π}{2}} (sen t)^{5} (cos t)^{41} dt

11. Calcula las siguientes integrales efectuando las sustituciones que se indican:

a) ∫_{2}^{5} \frac{1}{x\sqrt{x − 1}} dx, x = t^{2} + 1 b) ∫ \frac{3}{4} \frac{1}{4} \frac{dx}{\sqrt{x(1 − x)}}, x = sen^{2}t

c) ∫_{0}^{2} \sqrt{\frac{2 − x}{2 + x}} dx, x = 4sen^{2}t − 2. d) ∫_{−1}^{0} x^{2} \sqrt{4 + 3x} dx, x = \frac{1}{3}(t^{2} − 4)

12. Sea f una función invertible con derivada continua en [a, b].

(a) Demuestra (e interpreta geométricamente) la igualdad:

∫_{f(a)}^{f(b)} f^{−1} + ∫_{a}^{b} f = b f(b) − a f(a)

(b) Vuelve a deducir la igualdad anterior derivando la función

φ(x) = ∫_{f(a)}^{f(x)} f^{−1} + ∫_{a}^{x} f − x f(x)

Ejercicios optativos

13. Para cada n ∈ ℕ consideremos:

I_{n} = ∫0^{\frac{π}{2}} (sen x)^{n} dx J_{n} = ∫0^{\frac{π}{2}} (cos x)^{n} dx

(a) Prueba que I_{n} = J_{n}, ∀ n ∈ ℕ.

(b) Prueba que n I_{n} = (n − 1) I_{n−2}, ∀ n ≥ 2. Encuentra fórmulas para I_{2n} e I_{2n−1}.

(c) Prueba que I_{2n+1} < I_{2n} < I_{2n−1} y deduce que:

lim (\frac{!!(2n)}{!!(2n − 1)})^{2} \frac{1}{n} = \frac{π}{2} (fórmula de Wallis)