Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2002.

Práctico 7

Ejercicios básicos

1. Clasifica (sin calcular) las siguientes integrales impropias:

∫_{0}^{+∞} \frac{1}{(t + 1)(t + 2)} dt  ∫_{0}^{+∞} \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} dt  ∫_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{2 − t}} dt  ∫_{0}^{1} \frac{Lt}{t} dt

∫_{−1}^{3} \frac{9}{x^{2} + x − 2} dx  ∫_{0}^{+∞} \frac{1}{t\sqrt{t}} dt  ∫_{−∞}^{+∞} \frac{1}{t^{2} + 1} dt  ∫_{−∞}^{+∞} e^{−|t|} dt

2. Clasifica las siguientes integrales impropias:

∫_{0}^{+∞} \frac{2t^{2} + 4t − 7}{t^{4} + 1} dt  ∫_{2}^{+∞} \frac{t^{2}}{t^{2} + t − 2} dt  ∫_{0}^{+∞} \frac{2t^{3} − 4t}{(t^{2} + 1)^{2}} dt  ∫_{0}^{+∞} \frac{e^{−t}}{t + 1} dt

∫_{0}^{+∞} \frac{sen^{2}t}{t^{2} + 1} dt ∫_{−∞}^{−2} \frac{4}{x^{2} − 1} dx ∫_{1}^{+∞} \frac{e^{x}}{1 + xe^{2x}} dx ∫_{1}^{+∞} t^{4} e^{−t} dt ∫_{0}^{+∞} \frac{t e^{−2t}}{t^{4} + 1} dt

Ejercicios de nivel medio

3. Clasifica las siguientes integrales impropias:

∫_{0}^{+∞} \frac{sen^{2}t}{t^{2} + 1} dt  ∫_{−∞}^{−1} \frac{x + 2}{x(x + 1)} dx  ∫_{1}^{+∞} t^{4} e^{−t} dt  ∫_{0}^{+∞} \frac{t e^{−2t}}{t^{4} + 1} dt

∫_{0}^{2} \frac{1}{(t − 1)^{1/3}} dt  ∫_{0}^{+∞} \frac{1}{(t − 1)^{2}} dt  ∫_{0}^{+∞} \frac{1 − cosx}{(1 + x)^{2}} dx  ∫_{0}^{+∞} e^{−2x} cos^{2}x dx

4. Sea f la función dada por:

f(t) = \frac{1}{t (1 + L^{2}t)}

Clasifica ∫_{0}^{+∞} f y, si corresponde, calcula su valor.

5. Sea I_{n}(α) = ∫_{1}^{+∞} \frac{L^{n}t}{t^{1+α}} dt (α ∈ ℝ, n ∈ ℕ). Comprueba que esta integral converge. Encuentra una relación de recurrencia entre I_{n}(α) e I_{n−1}(α). Prueba que I_{n}(α) = \frac{n!}{α^{n+1}} .

6. Demuestra que ∫_{1}^{+∞} \frac{1−2sen t}{t^{3}} dt es convergente y que −1/2 ≤ ∫_{1}^{+∞} \frac{1−2sen t}{t^{3}} dt ≤ 3/2.

7. (a) Prueba que ∫_{π}^{+∞} \frac{sen t}{t (Lt)^{2}} dt converge.

(b) Prueba que: ∫_{π}^{+∞} \frac{cos t}{Lt} dt = ∫_{π}^{+∞} \frac{sen t}{t (Lt)^{2}} dt

(c) Deduce que: |∫_{π}^{+∞} \frac{cos t}{Lt} dt| ≤ \frac{1}{Lπ}

8. Prueba las siguientes desigualdades:

|∫_{0}^{+∞} \frac{sen^{3}x}{(x + 1)^{2}} dx| ≤ 1.  |∫_{0}^{+∞}(−5 + senx) e^{−3x} dx| ≤ 2.  |∫_{−∞}^{0} senx e^{x} dx| ≤ 1.

9. Sea

I_{n} = ∫_{0}^{+∞} e^{−nx} cos^{n} x dx.

(a) Probar que I_{n} converge para todo n ≥ 1.

(b) Probar que lim_{n→+∞} I_{n} = 0.

(c) Probar que para todo n ≥ 2 se cumple

I_{n} = \frac{1}{2n} + \frac{n − 1}{2n} ∫_{0}^{+∞} e^{−nx} cos^{n−2} x dx.

10. Sea f : R ⟶ R una función con derivada continua tal que: (i) lim_{x→+∞} f(x) = 0 (ii) ∫ +∞_{\frac{π}{2}} f converge absolutamente. (iii) ∫ +∞_{\frac{π}{2}} | f | = 7

(a) Prueba que ∫ +∞_{\frac{π}{2}} f(t) sent dt C.A. y que |∫ +∞_{\frac{π}{2}} f(t) sent dt| ≤ 7

(b) Prueba que ∫ x_{\frac{π}{2}} f′(t) cost dt = f(x) cosx + ∫ x_{\frac{π}{2}} f(t) sent dt ∀x ∈ R.

(c) Deduce que ∫ +∞_{\frac{π}{2}} f′(t) cost dt converge y que |∫ +∞_{\frac{π}{2}} f′(t) cost dt| ≤ 7

Ejercicios complementarios

11. Función Beta de Euler.

Para p > 0 y q > 0 consideremos la integral:

B(p, q) = ∫_{0}^{1} t^{p−1} (1 − t)^{q−1} dt

(a) Demuestra que, efectivamente, la integral anterior converge para p > 0 y q > 0. (Observa que es impropia en “0” y en “1”).

(b) Integrando por partes prueba que:

B(p, q) = \frac{q − 1}{p} B(p + 1, q − 1) = \frac{p − 1}{q} B(p − 1, q + 1), p > 1, q > 1.

(c) Deduce que:

B(m, n) = \frac{(m − 1)! (n − 1)!}{(m + n − 1)!}, ∀m ∈ ℕ, m > 1, ∀n ∈ ℕ, n > 1.

12. Sean f y g dos funciones con derivada continua en [0, +∞) tales que: g es positiva en [0, +∞), ∫_{0}^{+∞} g es convergente, f es creciente en [0, +∞) y f(0) = 1.

(a) Clasifica ∫_{0}^{+∞} \frac{g(t)}{f(t)} dt

(b) Si G(x) = ∫_{0}^{x} g clasifica ∫_{0}^{+∞} \frac{G(t) f′(t)}{[f(t)]^{2}} dt

(c) Verifica que f(x) = x+1 y g(x) = 1/(x+2)^{2} están en las condiciones de las partes anteriores y calcula en este caso ∫_{0}^{+∞} \frac{G f′}{f^{2}}

13. Clasifica: ∫_{−∞}^{+∞} f(t) dt en donde:

f(t) = \{ \begin{matrix}e^{t}, & si t ≤ 0. \\ \frac{1}{\sqrt{t}}, & si t > 0. \end{matrix}

14. En cada uno de los siguientes casos determina la constante λ para que ∫_{−∞}^{+∞} f = 1 y encuentra F (x) = ∫_{−∞}^{x} f(t) dt, para cada x ∈ R. Grafica f y F.

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{λ}, & si x ∈ [a, b]. \\ 0, & en otro caso. \end{matrix} f(x) = \{ \begin{matrix}0, & si x ≤ 0. \\ λe^{−5x}, & si x > 0. \end{matrix}

f(x) = \{ \begin{matrix}0, & si x ≤ 0. \\ λ x e^{−x}, & si x > 0. \end{matrix}

15. Consideremos la función f : ℝ → ℝ dada por:

f(t) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{1+t^{2}} , & si t ≤ 0. \\ \frac{1}{(t+1)\sqrt{t}}, & si t > 0. \end{matrix}

Calcula F (x) = ∫_{−∞}^{x} f(t) dt para cada x ∈ ℝ. Compara las gráficas de f y F. Calcula ∫_{−∞}^{+∞} f

Ejercicios optativos

16. (a) Prueba que ∫_{1}^{+∞} \frac{cos 2t}{t} converge. (integrar por partes).

(b) Prueba que ∫_{1}^{+∞} \frac{sen^{2}t}{t} no converge. (recuerda que sen^{2}t = \frac{1−cos 2t}{2}) .

(c) Prueba que ∫_{1}^{+∞} \frac{sen t}{\sqrt{t}} converge

(d) Prueba que ∫_{1}^{+∞} \frac{sen t}{\sqrt{t}+sen t} no converge. (Te sugerimos escribir \frac{sen t}{\sqrt{t}+sen t} = \frac{sen t}{\sqrt{t}+sen t} − \frac{sen t}{\sqrt{t}} + \frac{sen t}{\sqrt{t}} y observar que \sqrt{t} + sen t ≤ \sqrt{t} + 1.)

(e) Muestra que lim_{t→+∞} ((\sqrt{t} + sen t)/\sqrt{t}) = 1 y que, sin embargo

∫_{1}^{+∞} \frac{sen t}{\sqrt{t}} y ∫_{1}^{+∞} \frac{sen t}{\sqrt{t} + sen t} no tienen el mismo comportamiento.

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