Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I. Curso 2002.

Práctico 9

Ejercicios básicos

1. Consideremos la función: f(x) = e^{x} − x − 2 + cosx − \frac{x^{3}}{6}

(a) Encuentra el polinomio de Mac Laurin de orden 4 de f.

(b) Analiza si f presenta un máximo o un mínimo relativo en 0.

(c) Calcula, discutiendo según α ∈ ℝ^{+} el siguiente límite: lim_{x→0^{+}} \frac{f(x)}{x^{α}}

2. Aplicando desarrollos de Mac Laurin calcula los siguientes límites:

lim_{x⟶0} \frac{x − L(1 + x)}{x^{2}}  lim_{x⟶0} \frac{L(1 + x) − sen x}{x^{2} + 4x^{3}}  lim_{x⟶0^{+}} \frac{sen x − x cos x}{x^{α}} (α ∈ ℝ^{+}).

Ejercicios de nivel medio

3. Encuentra el polinomio de Mac Laurin de orden n de las siguientes funciones:

\frac{1}{2 − x}  \frac{1}{a − x}  \frac{1}{x^{2} − 3x + 2}  L(1 − x)  L (\frac{1 + x}{1 − x})

e^{x} − cos(x)  sen(x) cos(x)  sen^{2}x  \frac{1 + x^{2}}{1 − x^{2}} (orden 4)  L(1 + senx) (orden 4)

4. Sea f una función con derivada tercera continua en (−ϵ, ϵ) para algún ϵ > 0, tal que f(0) = 1; f′(0) = −3; f′′(0) = 2.

(a) Determina el polinomio de Mac Laurin de orden 2 de la función:

Φ : Φ(x) = f(x) − xf′(x) + ∫_{0}^{x} f(t) dt

(b) Halla a, b, c ∈ ℝ de modo que :

lim_{x→0} \frac{Φ(x) − a − bx}{x^{2}} = c ≠ 0

5. Aplicando desarrollos de Mac Laurin calcula los siguientes límites:

lim_{x→0} \frac{e^{x} − 1 − x^{2}/2 + senx − x}{1 − cosx − x^{2}/2}  lim_{x→0} \frac{L(1 + x) − x − x^{2}/2}{tgx − senx}

6. En cada uno de los siguientes casos determina los valores de los parámetros para obtener un infinitésimo del mayor orden posible para x → 0. Encuentra la parte principal.

a(e^{x} − 1) − bx^{2} − x  x + asenx + btgx  e^{x} senx − (ax + bx^{2} + cx^{3})

a(e^{x} − x − 1) + bsenx + cL(1 + x) − x  cosx − \frac{1 + 2ax^{2}}{1 + 3bx^{2}}  L(1 + x) − \frac{ax + bx^{2}}{1 + cx}

7. Usando el desarrollo de Mac Laurin de orden 8 de la función sen x calcula un valor aproximado de sen 1 y demuestra que el error cometido es menor que 3.10^{−6} = 0, 000003.

8. Usando el desarrollo de Mac Laurin de L(1 + x), calcula L(1, 5) con error menor que 0, 001. Compara tu resultado con el valor para L(1, 5) que te da la calculadora. Vuelve a hacer el ejercicio con error menor que 0, 0001.

9. ¿Cuál es el comportamiento local de f(x) = e^{x}−senx−1−x^{2}/2−x^{3}/3 alrededor de 0?. Bosqueja f en algún entorno de 0.

10. (a) Encuentra la expresión de Lagrange para el resto de orden 4 de la función sen x.

(b) Prueba que |r_{4}(x)| ≤ \frac{1}{2^{5} 5!} si x ∈ [0, \frac{1}{2}].

(c) Calcula un valor aproximado de la integral

∫0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} sen t^{2} dt

y encuentra una cota del error cometido.

Ejercicios complementarios

11. (a) Demuestra que para todo x > 0 se verifica:

0 < e^{−x} − (1 − x + \frac{x^{2}}{2} − \frac{x^{3}}{6} ) < \frac{x^{4}}{24}

(b) Demuestra que para todo x ∈ [0, \frac{1}{3}] se verifica:

0 < e^{−x^{2}} − (1 − x^{2} + \frac{x^{4}}{2} − \frac{x^{6}}{6} ) < \frac{x^{4}}{24.3^{4}}

(c) Demuestra que:

∫0^{\frac{1}{3}} e^{−x^{2}} dx = \frac{1}{3} − \frac{1}{3^{4}} + \frac{1}{2.5.3^{5}} − \frac{1}{6.7.3^{7}} + k

en donde k es un número real que cumple 0 < k < 0, 00000043.

12. (a) Muestra que

L(1 + x) = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} − \frac{x^{4}}{4} + …. + (−1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n} + \frac{(−1)^{n}}{(n + 1)(1 + c)^{n+1}} x^{n+1}

válido para x > −1, en donde c verifica |c| < |x|. Intenta aplicar este desarrolo para calcular L2 con error menor que 0, 001. Obtendrás que, para tales efectos, será necesario tomar n ≥ 1000. Esto indica que, en este caso, este procedimiento no es demasiado útil. En las partes que siguen verás cómo puede mejorarse el cálculo.

(b) Demuestra que si 0 < x < 1 entonces

L(1 − x) = −x − \frac{x^{2}}{2} − \frac{x^{3}}{3} − \frac{x^{4}}{4} + …. − \frac{x^{n}}{n} − \frac{1}{(n + 1)(1 + d)^{n+1}} x^{n+1}

para algún d con 0 < d < x.

(c) Aplicando lo anterior para n = 6 y para x ∈ (0, 1) podemos asegurar que existen puntos c y d entre 0 y 1 tales que:

L(1 + x) = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} − \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{5} − \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{7}}{7 (c + 1)^{7}} con 0 < c < 1

y que

L(1 − x) = −x − \frac{x^{2}}{2} − \frac{x^{3}}{3} − \frac{x^{4}}{4} − \frac{x^{5}}{5} − \frac{x^{6}}{6} − \frac{x^{7}}{7 (d + 1)^{7}} con 0 < d < 1

Se tiene entoncs que

L (\frac{1 + x}{1 − x}) = 2 (x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} ) + \frac{x^{7}}{7 (c + 1)^{7}} + \frac{x^{7}}{7 (d + 1)^{7}}

Usando esta expresión muestra que, de una manera muy simple, es posible calcular L2 con error menor que 0, 001.

13. Consideremos la función f : ℝ ⟶ ℝ dada por:

f(x) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x^{2}}} & si x ≠ 0. \\ 0 & si x = 0. \end{matrix}

(a) Demuestra que f es de clase C^{∞} en todo ℝ y que f^{(k)}(0) = 0, ∀k ∈ ℕ.

(b) ¿Cuál es el desarrollo de Mac Laurin de f?

(c) Grafica f.

(d) Prueba que lim_{x⟶0} \frac{f(x)}{x^{n}} = 0, ∀n ∈ ℕ.

Ejercicios optativos

14. Formaliza, dale sentido preciso y demuestra la siguiente afirmación: “El conjunto de los órdenes de infinitésimos para x → 0^{+} tiene una estructura de cuerpo conmutativo ordenado y NO ARQUIMEDIANO.