Conferencia dictada en el Colegio Nacional, Ciudad de México - 4 de marzo de 1998 Tomado de "José Luis Massera. El científico y el hombre. Premio México de Ciencia y Tecnología" Ed: Facultad de Ingeniería, Montevideo, Uruguay (1998)
Por otro lado, recientemente en el "Séminaire de Philosophie et Mathématiques" de l’"École Normale Supérieure" de París que dirigen M. Loi y otros, se han empezado a publicar algunas de las ponencias presentadas en él que tienen vinculación con la dialéctica; me propongo también comentarlas brevemente al final de esta conferencia (las traducciones del francés han sido hechas por mí).
Inversamente, al menos nosotros, los que pensamos la naturaleza dialécticamente no podemos imaginar los objetos dotados de una fijeza absoluta: una montaña majestuosa es el resultado histórico de ciertos geológicos pasados, no existe toda la eternidad; podría ser modificada y hasta desaparecer como consecuencia de una catástrofe futura, o aún, a una escala menor, sufrir transformaciones debidas a los cambios de temperatura, a los fenómenos meteorológicos, o a la acción del hombre; éste último a su vez podría introducir cultivos, construir terrazas, perforar túneles, construir viaductos, explotar los minerales preciosos que guarda en su seno, etc.
2.1. G.G. Granger, citando a Hegel, observa que "se ha creado una tradición según la cual la palabra 'dialéctica' designaría tanto como el movimiento mismo de la creación de los contenidos en virtud de una furma universal, así como la ciencia de esta creación, capaz de elucidar lo real y su historia", y expresa su convicción de que "las tentativas para 'formalizar' un pensamiento dialéctico" no pueden tener éxito. Estoy completamente de acuerdo con estos juicios, y las pretensiones citadas me parecen residuos inaceptables del idealismo absoluto de Hegel. Puedo también estar de acuerdo (al menos a grandes rasgos) con la opinión de que "el proyecto de que una dialéctica se mantiene posible, si se considera como una estrategia del conocimiento objetivo." Pero "ella nunca es más que reguladora de una intención de conocimiento, de una práctica más que de una teoría. Es posible reinterpretar en este sentido tanto el movimiento dialéctico hegeliano como las ‘leyes dialécticas’ marxistas." Podría hasta adelantar la idea de que una "formalización" de la dialéctica me parece un contrasentido: la transformaría en una doctrina rígida.
En el capítulo 6 de su libro, el autor discute la importante cuestión de la inferencia y afirma: "El movimiento dialéctico no provee inferencias propiamente dichas, es decir el pasaje necesario y unívoco de un enunciado a otro, o al menos a una alternativa definida de enunciados." Si se trata efectivamente del sentido "propiamente dicho" del concepto de inferencia explicitado en la frase anterior, la aserción es incontestablemente verdadera, y esta verdad deriva de la aplicación rigurosa, a lo largo de la inferencia, de las reglas de la lógica formal clásica. Este es, en general, el caso de todas las ciencias formales en el sentido de Carnap, y en particular de la lógica y de las matemáticas, y es precisamente ahí en donde reside el valor de este tipo de ciencias (ver 4 más adelante). Sin embargo, al mismo tiempo la "verdad" de estas inferencias no aporta novedades, es puramente tautológica, para retomar el término de Russell (ver 6.2). No hay duda de que con frecuencia las raíces de los enunciados precedentes de estas inferencias "propiamente dichas" están a menudo profundamente ocultas, el acceso a ellas está bajo cerrojo; su puesta en evidencia no es trivial y exige a veces los esfuerzos considerables de un gran número de pensadores en el transcurso de siglos.
Pero junto a estas inferencias puramente formales hay otras (no veo por qué no llamarlas inferencias; a menos que logremos ponernos de acuerdo en otro término apropiado) que aportan novedades sustanciales, y pienso que son justamente las más importantes. Son ellas precisamente las que exigen una verdadera creación mental, un "salto" cualitativo del conocimiento. Estas iluminaciones reclaman en general una tensión extrema del pensamiento y la participación de otros procesos mentales (negaciones audaces- para dar sólo un ejemplo clásico, la que condujo, luego de siglos de esfuerzos infructuosos, al descubrimiento por Bolyai y Lobachevski de las geometrías no-euclideanas, negación que dicho sea de paso, había sido concebida pero no abiertamente admitida por el gran Gauss-, o aun asociaciones de ideas imprevistas, intuiciones sorprendentes, etc.) que no pueden reducirse a reglas rígidas de aplicación casi mecánica. Pienso que sería apropiado llamarlas formas de pensamiento dialéctico o aun de estar inspiradas o dejarse guiar por esquemas tales como las llamadas triadas hegelianas (a menudo adoptadas, luego de Hegel, por pensadores marxistas), el desarrollo en espiral (o mejor en hélice), etc.
Con mayor razón, no puedo estar de acuerdo con Granger, cuando pasa de las ciencias formales a las naturales. Escribe: "Sin duda siempre será posible, con cierto ingenio, reinterpretar a posteriori en términos de movimientos dialécticos el desarrollo de fenómenos que describen los modelos abstractos de la ciencia. Estos últimos son seguramente inventados y construidos conforme a una estrategia que no se reduce a la simple lógica, pero es la regulación lógica la que orienta el meta-discurso que lo organiza. Por otra parte, ellos permiten prever, generalmente en forma satisfactoria y algunas veces con exacta precisión dicho desarrollo, mientras que la interpretación de una filosofía dialéctica de la naturaleza siempre llegó cuando ya estuvo todo dicho...". He tratado de mostrar en 1 que el movimiento-reposo y otras manifestaciones dialécticas en la naturaleza no sólo no llegan tarde sino que más bien existen antes de la formulación de las teorías.
Pero lo más sorprendente me parece ser lo siguiente. En la misma página en que figura la cita precedente, el autor habla de las fórmulas establecidas por los geómetras italianos del siglo XVI para resolver las ecuaciones de tercer grado, que resultan inaplicables en el caso llamado "irreducible", ya que exigirían la extracción de la raíz cuadrada de un número negativo (mi comentario: cosa curiosa y que parece poner en evidencia una forma dialéctica. Estas raíces eran entonces llamadas imaginarias - nombre que perduró hasta nuestros días - y hasta imposibles). Peor aun, agrega: "las raíces [reales] de la ecuación existen en esos casos y pueden determinarse por tanteo o por construcción gráfica." (Es decir: en el caso "irreducible" en donde aparecen en las fórmulas números imaginarios, aunque las raíces son todas reales, pueden hallarse por tanteo, método sin duda profundamente lógico...). Y en la página siguiente admite: "Pero la solución de la contradicción, mediante un movimiento que podríamos correctamente llamar dialéctico, consistirá en reformular el sistema de las reglas operatorias de modo tal que resulte correlativo de un sistema ampliado de objetos (...): el formulario operatorio del álgebra autorizará entonces la extracción de raíces pares de números negativos, pero el campo de los números utilizados se ampliará al de los números ‘complejos’ (...)." Estoy completamente de acuerdo con esta frase. Agrega además (y mi acuerdo se acentúa): "La historia de la matemática muestra en todo caso numerosos ejemplos de esa dialéctica, en la que se comprueba que no podía reducirse a la aplicación de principios y leyes generales, que exige siempre invención y creación, aunque su modo de avanzar nunca escapa de las ataduras propiamente lógicas." No me canso de declarar que estoy totalmente de acuerdo con la frase entera.
En el capítulo 18 Granger expresa opiniones que me parecen igualmente positivas. "Por dialéctica, entenderemos solamente el movimiento de reestructuración de un sistema de conceptos que resuelve contradicciones y tensiones internas, cuando ese movimiento no es reducible a la deducción regulada de consecuencias a partir de proposiciones ya establecidas. La presencia de tales movimientos creadores en la historia de las ciencias es difícilmente rechazable (...)". "En todo caso, cuando el libre juego de las manipulaciones se encuentra con obstáculos [que son equivalentes a una negación] aparece la novación conceptual". "Que haya una dialéctica interna de la ciencia no significa entonces que la conciencia genere por sí misma [¿a la Hegel?] sus contenidos, sino que un sistema más o menos coherente de actos de pensamiento sea puesto en funcionamiento y que, al encontrar obstáculos, se transforme para sobrepasarlos. Uno de los proyectos de una filosofía de la ciencia debe ser sin duda el exponer este trabajo." Y finalmente: "Pero la historia nos muestra que el momento de la invención y del genio consiste justamente en la formulación efectiva de los problemas (...) [que] define positivamente la línea de su progreso." (Cf. también 6.2). Estoy completamente de acuerdo con todas estas citas.
2.2. El ensayo de J. Fló analiza precisamente los conceptos de novedad y creación. El autor emplea en su texto, en forma sistemática y correcta, términos precisos del lenguaje sistémico moderno: complejidad, entropía, etc. Se plantea desde el principio la cuestión de adoptar "un sentido bastante preciso del concepto de novedad"; y propone "medir la novedad por la relación que existe entre una relación productora previa, por una parte, y lo que se deriva de ella, por otra." Más concretamente, hay novedad "toda vez que aparece una estructura o un conjunto ordenado de alguna manera sin que la información necesaria para establecer ese conjunto de relaciones en las que consiste la estructura esté incluida en los antecedentes que la producen." Dicho de otro modo: "solamente hay novedad cuando la producción de una estructura no está controlada por agentes de igual estructura o de una estructura más compleja de la cual la primera es una parte o una consecuencia." La novedad es "una excedencia o una ganancia respecto a la situación antecedente."; o bien, todavía "hay novedad en un sentido fuerte toda vez que hay reducción de la entropía."
Si por otra parte tenemos en cuenta que no es posible que el origen de la novedad resida en los antecedentes, necesariamente concluimos que ella resulta "de una fuente aleatoria"; debe por tanto ser encarada en el marco de "la teoría neodarwiniana de la evolución", que requiere siempre necesariamente "un dispositivo de selección natural".
Debo decir que estoy esencialmente de acuerdo con estas tesis de Fló; hasta he dicho, sin emplear su lenguaje, refiriéndome a las "inferencias propiamente dichas" de Granger, que no podían aportar ninguna novedad. No obstante, considero necesario hacer en este punto algunos comentarios:
(i) La tendencia espontánea de los sucesos es el crecimiento de la entropía. Según la definición propuesta, la novedad aparece entonces a contra-corriente del curso de los sucesos, lo que puede sugerir que es más bien rara. En la pareja indisoluble evolución aleatoria-selección, y sin disminuir el papel del primer factor, pienso que hay que destacar ese papel selectivo, en principio natural, pero atribuible sobre todo al factor humano, y particularmente al cerebro humano y a las sociedades humanas, tal como Fló lo señala más adelante.
(ii) Hay un ejemplo clásico (y al mismo tiempo imaginario...) del papel de la selección en la física: es el famoso demonio de Maxwell. Consideremos un gas, es decir un conjunto muy grande de moléculas que se desplazan a velocidades muy diferentes, y que chocan entre ellas así como con las paredes del recipiente en choques que se suponen elásticos. Supongamos además que el recipiente está dividido en dos partes A y B, separadas por un tabique con un pequeño orificio provisto de una válvula que puede abrirse o cerrarse a voluntad. A su lado hay un pequeño demonio, muy ágil e inteligente, cuya función es la de abrir la válvula cuando llega una molécula rápida de la parte A hacia la B, para dejarla pasar, y de cerrarla en los demás casos. Al transcurrir el tiempo, las moléculas rápidas se encuentran en B y las lentas en A: es un proceso anti-entrópico, una novedad. La selección operada por el demonio, aunque ninguna mente humana intervenga, es inteligente.
(iii) La selección es a menudo debida a la práctica humana, principalmente social. Sin duda las mentes intervienen aquí, pero el papel de la acción es predominante en el resultado. Podemos recordar al respecto la Xl Tesis sobre Feuerbach de Marx.
(iv) Podríamos comentar aquí experiencias de matemáticos, desde Arquímedes hasta Poincaré, que han escrito sobre el proceso de algunos de sus descubrimientos célebres, cosa que lamentablemente es poco frecuente... (ver 6.3). Solamente puedo decir que, en mi opinión, ellas confirman las tesis de Fló.
Para las cuestiones de que estamos hablando, el ensayo de Fló termina con reflexiones acerca de los aspectos sociales. "Estas dificultades deben corroer, según creo, nuestra confianza en el modelo computacional, que es inevitable como modelo del cerebro individual, sea un buen modelo para la producción intelectual de la sociedad humana en su historia. Por eso creo que es posible escapar a la condena que el modelo computacional parece decretar contra la creatividad - es decir, contra la producción de novedad intelectual por parte del hombre - mediante un modelo de creatividad extra- individual aplicable, en particular, al desarrollo de los instrumentos y los resultados cognitivos a lo largo de la historia. (...) Me refiero especialmente al desarrollo de la inteligencia (en tanto capacidad para la resolución de problemas y de representación interna) y la comunicación (en tanto sistemas de señales intraespecíficas que permiten la coordinación grupal) las cuales tienen una larga historia filogenética independiente." "(...) es la única manera de pasar de la lógica que opera en los circuitos (inaccesible a la conciencia, la expresión verbal, el uso voluntario y toda forma de tematización, crítica y desarrollo) a la lógica fijada en lenguajes sociales (...) Ese salto de ciertas estructuras (...) a niveles muy superiores como los del lenguaje y la representación interna, es bastante claro que la máquina individual no tiene medios de realizarlo. Solamente a través del espacio externo de las construcciones sociales la máquina individual obtiene una vía indirecta de acceder a su lógica interna." "(...) ese trabajo social aporta una novedad indudable. (...) un poder nuevo, más aun da lugar a la aparición de un nuevo sistema. (...) se trata de un camino en el cual el azar y la selección cumplieron su papel." Estoy completamente de acuerdo con estas reflexiones, y me parece que aportan puntos de vista verdaderamente nuevos para encarar estos problemas. Permítaseme anotar solamente que Fló no utiliza nunca la palabra "dialéctica" en su ensayo, aunque me parece un excelente ejemplo de empleo de dicha concepción...
Algunos siglos antes de la era cristiana, un cambio radical se produjo en esta situación. En Grecia la matemática se convirtió en verdadera ciencia, rica y articulada. Es el primer caso en la historia en que un conjunto considerable de conocimientos empíricos, de "saberes" prácticos, sufrieron un cambio cualitativo, para transformarse en gran medida en un todo orgánico, que comenzaron a establecer sus propios métodos y a precisar los principios que les sirven de base. Todas las ciencias que hoy conocemos han seguido un camino análogo.
Hay que señalar además otra particularidad -muy rara en el conjunto de las ciencias- que caracteriza el nacimiento de la matemática: ni la investigación ni la exposición de los resultados obtenidos apelan, en principio, al empirismo. Esta afirmación es demasiado tajante, aunque esencialmente verdadera, y habrá que introducirle matices, cosa que haremos en lo que sigue.
Hay por otra parte una circunstancia extraña en este acontecimiento sorprendente: casi puede decirse que en este "alumbramiento" nacieron gemelos. El lector adivinará probablemente de qué se trata: también surge la lógica. Es cierto que durante milenios no se le ha reconocido la calidad de ciencia, de la que nuestro siglo no duda. En la Antigüedad no alcanzó el grado sorprendente de organización formal al que llegó la matemática clásica, pero sí en nuestro siglo.
¿Estos eventos tan excepcionales, cómo se produjeron? ¿Cómo podemos explicarlos?
Las ciencias fácticas establecen juicios sintéticos sobre hechos naturales, observables o hipotéticos, de los cuales se desprenden, mediante reglas propias de las ciencias formales, otros juicios sintéticos. Las ciencias formales suministran entonces estos instrumentos auxiliares para establecer estas inferencias ("propiamente dichas", como diría Granger, cf. 2.1). Constituyen por lo tanto un "cálculo auxiliar" para facilitar el trabajo de las ciencias fácticas, introduciendo en el conjunto de las ciencias, formales y fácticas, una economía global importante. Más aun: las ciencias formales sugieren frecuentemente nuevos desarrollos en las ciencias fácticas.
El célebre aforismo de B. Russell, que parece una broma: "La matemática es una ciencia en la que nunca sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que decimos es verdad", es entonces correcto no solamente para la matemática, sino para todas las ciencias formales. Es interesante recordar que Kant ya había comprendido la naturaleza formal de la matemática: "La matemática ha marchado por el camino seguro de una ciencia desde los tiempos más remotos que alcanza la historia de la razón humana, en el admirable pueblo griego. (...) ese cambio es de atribuir a una revolución que la feliz ocurrencia de un solo hombre llevó a cabo (...). (...) encontró que no tenía que inquirir lo que vela en la figura o aun en el mero concepto de ella y por decirlo así aprender de ella sus propiedades sino que tenía que producirla, por medio de lo que, según conceptos, él mismo había pensado y expuesto en ella a priori (por construcción), y que (...) no debía atribuir nada a la cosa, a no ser lo que se sigue necesariamente de aquello que él mismo (...) hubiese puesto en ella."
Para cualquier juicio formal, lo que importa es la coherencia entre un enunciado cualquiera y los postulados, la corrección rigurosa de los pasos lógicos mediante los cuales se deduce aquél de éstos. La noción de "verdad" (en su sentido fundamental real, fáctico), pierde todo significado en una ciencia formal. ¿Por qué la geometría euclidiana sería más verdadera que las geometrías no-euclidianas?; de hecho, los físicos de nuestro siglo prefieren las segundas. Hay un aspecto importante en el proceso de creación de la teoría de la Relatividad General que es interesante considerar. Einstein comprendía bien la naturaleza axiomática, formal, de la geometría, pero, como buen físico que era, sentía la necesidad de una geometría más estrechamente ligada a la realidad, de una geometría fáctica, si puede decirse. Inventó entonces la expresión geometría práctica’ o ‘física’, que ciertamente no es euclidiana, y en la que además los parámetros que definen la distancia y la curvatura del espacio en el entorno de un punto dependen de las masas materiales que en él se encuentran.
Creo que la razón fundamental por la cual los griegos concibieron la matemática sobre una base axiomática resulta ahora clara: comprendieron - sin decirlo explícitamente - cuán provechoso era para la economía global de la ciencia tener a disposición una ciencia formal que sirviera de "cálculo auxiliar". Pienso que si consideramos la célebre definición: "La matemática, Reina y sirvienta de todas las ciencias", debemos agradecer por el honor del título acordado a ella, sin olvidar que su papel principal es el de "sirvienta".
Termino este parágrafo agregando una cosa que Carnap no podía prever. Me parece que ha llegado el momento de introducir una tercera ciencia formal, que no existía en 1934: la informática.
Esto es así hasta para los más estrictos y exigentes lógicos y formalistas. Yo diría - y no por una atracción malsana por las paradojas, pero sí por una sólida convicción dialéctica - que el formalismo es la fuente más rica de contradicciones dialécticas y paradojas (Zenón parece ingenuo frente a los aprendices de brujo modernos), el más poderoso motor dialéctico de la matemática del siglo XX. "La intención de conferirle a la matemática un estatuto de autonomía haciéndola una ciencia puramente formal, ha dicho con justeza F. Gonseth, no estaba necesariamente ligada al proyecto de suministrar una demostración de la imposibilidad de la contradicción." Tanto para los formalistas como para los intuicionistas, más aun en tanto se encuentran apasionadamente atados a sus respectivas tendencias, una comprensión dialéctica de sus problemas seria extremadamente fecunda; incluiría ciertamente conflictos, pero nunca "crisis" paralizantes; constantes "negaciones de negaciones" llenas de vida, alejando el escepticismo y el empobrecimiento de la ciencia.
Sin compartir plenamente el tono "personalista" de sus palabras, pero estando de acuerdo con ellas en general, en tanto reflejan, a mi entender, la riqueza de los factores dialécticos que actúan en los objetos matemáticos y en los temperamentos de los matemáticos, comparto la siguiente opinión de Poincaré: "que la mente de un matemático se asemeja poco a la de un físico o un naturalista, todo el mundo estará de acuerdo; pero los matemáticos mismos no se asemejan entre Sí; unos no reconocen más que la lógica implacable, otros recurren a la intuición y ven en ella la única fuente de descubrimiento. Y sería una razón de desconfianza. ¿A estas mentalidades tan diferentes, los teoremas matemáticos mismos podrán aparecerles bajo la misma luz? ¿Una verdad que no es la misma para todos, es fa verdad? Pero observando las cosas más de cerca, vemos cómo obreros tan diferentes colaboran en una obra común que no podría terminarse sin su participación. Y esto ya nos tranquiliza."
6.1. Dinámica externa y dinámica interna. Todos aceptarán con acentos muy diferentes, por supuesto, según los temperamentos, que la investigación es motivada tanto por los hechos materiales, "externos", como por la dinámica ideal ,"interna" a la matemática, o bien por las dos especies de hechos actuando en conjunto. Los primeros pueden presentarse en tanto que problemas y cuestiones provenientes de otras ciencias, de las técnicas, de la práctica social, y en particular de la vida económica. Para el matemático sensible a estas motivaciones, el pasaje del motivo a la investigación propiamente dicha puede ser completamente directo. Hasta es posible que sea el motor principal; en todo caso, es muy importante y se debe sacar de ello las consecuencias apropiadas : el más estrecho acercamiento posible - en particular en el plano de la enseñanza y de la actividad académica - entre las personas y las instituciones que operan en esas esferas, por un lado, y los matemáticos, por otro.
Pero del hecho de que la matemática sea una ciencia formal resulta la enorme importancia que tiene para ella su propia dinámica interna. Es simplemente inconcebible escribir la historia de la matemática sin tenerla en cuenta. Un racconto histórico, muy sucinto, que mostraría claramente que no es posible comprender nada sobre la racionalidad del desarrollo de la matemática durante más de dos mil años si no se da una gran atención al encadenamiento de los problemas, de los descubrimientos, de las influencias recíprocas, de las contradicciones, etc., que se han producido en ese desarrollo.
6.2. El papel de las definiciones. B.Russell, uno de los pioneros del logicismo matemático, escribe en una de sus obras, a mi modo de ver demasiado tajante, pero en esencia justo: "La matemática y la lógica, hablando en términos históricos, han sido estudios enteramente diferentes. (...) Pero ambos se han desarrollado en los tiempos actuales: la lógica se hizo más matemática y la matemática más lógica. Por consiguiente, ahora es totalmente imposible trazar una línea divisoria entre las dos; de hecho, las dos son una sola. (...) En cuanto el trabajo matemático moderno está obviamente en la frontera de la lógica, otro tanto de la lógica moderna es simbólica y formal, de modo que la muy estrecha relación entre lógica y matemática se ha hecho obvia para todo estudioso instruido. (...) [y hay que admitir] la identidad de la lógica y la matemática." Más adelante agrega: "el principio de no contradicción es una entre varias proposiciones lógicas, no tiene especial preeminencia, y la prueba de que la negación de alguna proposición es en sí misma contradictoria probablemente debiera requerir otros principios de deducción aparte de aquél. Sin embargo, la característica de las proposiciones lógicas que estamos buscando, es aquella que fue sentida e intentado ser definida, por aquellos que decían que consistía en la deducibilidad a partir del principio de no contradicción. Esta característica es la que podemos por el momento llamar tautología".
Estas opiniones son también, casi con las mismas palabras, las de Wittgenstein, Carnap y otros lógicos y filósofos. Sin enfrentarlos directamente, no creo que muchos matemáticos se sientan felices con esta identificación entre lógica y matemática, ni con la reducción pura y simple de ésta a una inmensa tautología. ¿Hay alguna explicación razonable para la divergencia de estos puntos de vista? ¿Es posible reconciliarlos por poco que sea?
En primer lugar, la idea de tautología acarrea, me parece, una identidad tan mecánica que podrá revelarse por medio de una máquina - ¿no es esto ya posible, o al menos en un futuro previsible? - . Pero no puedo concebir que pueda hacerse matemática sin la intervención del cerebro de un matemático. Sobre este punto estoy completamnente de acuerdo con Poincaré: "Si Ud. asiste a una partida de ajedrez, no le alcanzará, para comprender la partida, con saber las reglas del movimiento de las piezas. Eso le permitirá solamente reconocer que cada jugada fue hecha conforme a esas reglas y esta ventaja tendrá verdaderamente poco valor. Es sin embargo esto lo que haría el lector de un libro de matemática, si no fuera más que un lógico. Comprender la partida es algo completamente diferente; es saber por qué el jugador mueve tal pieza en lugar de tal otra que hubiera podido mover sin violar las reglas del juego. Es percibir la razón íntima que hace de esa serie de movidas una suerte de todo organizado. Con mayor razón, esta facultad es necesaria al jugador mismo, es decir al inventor."
Es lo que dice también Dieudonné, matemático de raza a quien nadie puede acusar de creer que la matemática no es una ciencia formal. Agregaré que algunas dificultades que encontramos en la enseñanza de la matemática residen precisamente en ese punto: lograr que el alumno sea capaz de sentir "el alma" de una demostración, su idea conductora, su esencia. Es deseable no sólo que sea capaz de seguir paso a paso una demostración, sino que pueda aprender a demostrar el teorema en cuestion... Es el paso previo para que pueda ulteriormente adquirir la capacidad de demostrar por sí mismo un nuevo teorema.
En segundo lugar, pienso que hay que destacar el papel que juegan las definiciones introducidas por el matemático. Ellas determinan una ruptura cualitativa de la cadena más o menos monótona de teoremas sucesivos. Son actos de creación ideal de nuevos objetos mentales, y este caso de creación de novedades no escapa a las ideas del. Fló, Tampoco dudo en emplear la palabra "objeto": la experiencia individual, colectiva e histórica de los matemáticos prueba que el conocimiento de estos nuevos objetos es a veces tan difícil como el de objetos materiales, y en ocasiones más aun. Se comportan frente a la conciencia que intenta abordarlos como verdaderas fortalezas muy sólidas, inexpugnables; son a veces necesarios los esfuerzos perseverantes, durante siglos, de numerosos matemáticos llenos de talento, para conquistarlas, y a menudo no somos capaces de hacerlo. ¿En estas condiciones, es legítimo hablar de tautología? Es por esto que asigno a las definiciones un papel de primerísima importancia en la matemática. Entre otros signos por los cuales puede medirse la fecundidad de un matemático, se encuentran la cantidad y el alcance de las nuevas definiciones que ha propuesto a lo largo de su carrera.
6.3. Modo de exposición y modo de investigación. Utilizo las mismas palabras que emplea Marx en su obra científica fundamental: "El modo de exponer tiene que distinguirse formalmente del modo de investigar." Al mismo tiempo, los dos modos están estrechamente ligados entre sí. Estamos aquí en pleno dominio de la dialéctica.
Comencemos por el modo de investigación, es decir la matemática in the making. Ya hablamos algo en relación a las definiciones. La investigación de un nuevo objeto matemático ideal - ya sea el resultado de una definición del propio matemático o de otro tipo de origen, inclusive fáctico - exige un plan - que casi nunca es formulado de manera explícita y formal - en el que se combinan múltiples análisis deductivos, lógicos, formales, el examen de ejemplos concretos, tal vez más simples y transparentes, que puedan ayudar a imaginarse de qué se trata, el estudio de "contra-ejemplos" capaces de mostrar la falsedad de ciertas ideas preconcebidas sobre el objeto en cuestión, las modificaciones que pueden pensarse hacer a esas exploraciones previas para adaptarlas mejor a las propiedades todavía desconocidas del objeto, las mil variantes de vueltas y revueltas del mismo, etc. En síntesis, se trata de tanteos difícilmente asimilables a inferencias propiamente lógicas. Pero constituyen el terreno fértil - tal vez asimilable a la etapa aleatoria de la cual habla Fló - donde pueden nacer las novedades.
A mi juicio, es una pena que los matemáticos rara vez describan esos trials and errors (ensayos y errores) que implica siempre el trabajo creador. Es posible que esta timidez esté provocada por un falso orgullo, que trate de no mostrar debilidades que se consideran vergonzosas; se prefiere exhibir, por un modo de exposición irreprochable, un resultado perfectamente prolijo. Esto priva a los matemáticos - particularmente a los jóvenes - del conocimiento, sin duda muy instructivo, del modo de creación de los grandes sabios, lo cual me parece lamentable. Ciertamente, hay excepciones: el texto sobre El método de Arquímedes, en el que el sabio griego relata (en una carta a Eratóstenes) cómo utilizando ideas mecánicas fundadas en las leyes de la palanca que acababa de descubrir, pudo calcular áreas, volúmenes y centros de gravedad - una proeza que hubiera requerido los métodos del cálculo infinitesimal del siglo XVII -; la narración de Poincaré sobre su descubrimiento de las funciones theta-fuchsianas; y algunos otros. B. L. van der Waerden escribió artículos interesantes sobre los procesos de la creación matemática.
El relato de Poincaré que recién mencioné es particularmente instructivo en relación con las ideas de Fló. El cuadro que describe, de un período previo de reflexión intensa en el cual manipuló un número considerable de ideas emparentadas con el problema que le preocupaba, sin inferencia lógica "causal", me parece adecuado, por decirlo así, al surgimiento aparentemente aleatorio de la solución; me disculpo, no siendo yo sicólogo, por osar esta interpretación, y desearía que sicólogos profesionales consideraran este tipo de cuestiones.
Una vez hecho el descubrimiento, es obligatorio presentar los resultados de forma absolutamente explícita y rigurosa. En esta etapa, ninguna transgresión a las reglas de la lógica formal está permitida, ningún llamado a la intuición es aceptado, ninguna imprecisión es tolerada. Es aquí donde el modo de exposición interviene y el carácter de ciencia formal de la matemática aparece en su plenitud. No es en absoluto una etapa secundaria: muchas veces el rigor obligado de la presentación pone en evidencia fallas y errores que de otro modo pasarían inadvertidos. Entonces se abre una nueva etapa en donde el modo de investigación y el modo de exposición actúan y reactúan el uno sobre el otro dialécticamente, de manera que, desde cierto punto de vista, intercambian sus papeles respectivos.
7.1. En el primero de ellos, perteneciente a F. Patras, inicia su exposición sobre "Fenomenología y matemática" diciendo: "En fa práctica matemática, es evidente el defasaje entre la verdad tal como surge del método axiomático y nuestro conocimiento de los objetos matemáticos, constituida en primer lugar por intuiciones vivas y que desborda los cuadros demasiado rígidos del formalismo." (p. 1) Y agrega: "¿(...) cómo la matemática puede al mismo tiempo y sin contradicciones ser una ciencia axiomática (...) y simultáneamente, en el trabajo del matemático, una ciencia de intuiciones?" (p. 4)
Apoyándose en Husserl, dice: "(...) una epistemología consecuente no puede contentarse con informar acerca de las teorías o de los objetos matemáticos, debe tomar en consideración también la relación de nuestra conciencia con sus objetos. (...) A la lógica formal y axiomática se le yuxtapondrá pues una lógica genética de nuestra relación con los objetos matemáticos (...)." (p. 8) "Para dar sentido a la matemática contemporánea haría falta (...) desmontar piedra por piedra el edificio de la matemática e identificar cada uno de los momentos del proceso de abstracción hasta retornar a un sistema de proto - idealidades fundado (...) en nuestra intuición espacio - temporal. (...) Pero ese retorno no tiene sentido." (p. 10)
"La cuestión que sigue planteada hoy (...) es elaborar una teoría del descubrimiento que dé cuenta del movimiento real de constitución del pensamiento matemático, pensamiento vivo, discurso acerca de contenidos y no forma pura más o menos tautológica. (...) ella debe poder decirnos cómo nuestro conocimiento puede acrecentarse, cómo nuevas ideas y conceptos pueden aparecer.’ (p. 11) "(...) cuando un matemático piensa ‘grupo’, reflexionará en las diferentes especializaciones posibles del concepto, en los resultados generales que conoce, en los problemas no resueltos de la teoría de grupos, en las diferentes variantes posibles de la noción de grupo. El pensamiento de un objeto es más que su representación clara y definida - de ella hay todo un sistema de referencias que Husserl llama de forma atrayente ‘horizonte de intencionalidad’-.(...) La intuición de que se trata no se centra directamente en los objetos matemáticos sino que traduce la riqueza de la arquitectura de las vivencias de conciencia, la extensión de la estructura del horizonte asociado a nuestra percepción de tal o cual objeto matemático." (p. 12-13)
"Para terminar, hacer matemáticas significa trabajar sobre ciertos objetos ensayando de extraer de ellos significaciones nuevas. El lugar en que este trabajo se realiza no es el objeto matemático mismo sino nuestra conciencia del objeto." (p. 13)
7.2. En el segundo trabajo, perteneciente al. Merker y titulado: "La ontología explícita de los teoremas de existencia en la matemática", el autor sostiene que: "El elemento clave en una prueba de existencia reside en el nacimiento de la síntesis" (p. 14) y se apoya para ello en un ejemplo estudiado por el filósofo francés A. Lautman. Dice: "Hay una intuición extra-matemática en el apremio de un problema (...) y se trata de encontrar en el seno de una teoría matemática el problema lógico que se encuentra a la vez definido y resuelto por la existencia de esta teoría" y que en cierto modo reclama del matemático su resolución satisfactoria. (p. 15) Lautman toma como ejemplo concreto el de las funciones algebraicas "engendradas" por la estructura topológica de "su~~ superficie de Riemann; éste se da una superficie arbitraria y se plantea la cuestión de saber si existe realmente una función algebraica de la cual aquélla es la que corresponde. El teorema dice que ese número clave es el género topológico de la superficie: es como el "nombre topológico" de la función. Dicho de otro modo, el género es la condición necesaria y suficiente para identificar la superficie que le corresponde, o sea, que la caracteriza.
"Las ideas problemáticas se encarnan y pasan bajo la forma de teorías realizadas (...)" (p. 15). "De cierto modo, hay una encarnación de las ideas en las teorías." (p.1 6). "(...) la esencia de una materia hace nacer las formas que su estructura dibuja." (p. 17) Lautman toma en particular el ejemplo de las funciones algebraicas "generadas" por la estructura topológica de su superficie de Riemann. Este se da una superficie arbitraria y se plantea la cuestión de saber si existe una función algebraica de la cual ella sea su superficie (de Riemann). El teorema consiste en hacer nacer de la estructura topológica un número determinado de integrales abelianas (...) y enuncia que: el número de ellas que son linealmente independientes es igual al género topológico de la superficie (p. 19). Ese número se convierte así en algo semejante al nombre topológico de la familia de integrales que son "propias" de la superficie, y responde, por así decirlo, a la "ansiedad" que experimentaba de encontrar condiciones necesarias y suficientes o de caracterización para el problema. "La existencia de un ser resulta de la selección de un elemento distinguido por sus propiedades excepcionales" (p. 21), dice Merker resumiendo, en un lenguaje que recuerda al de Fló en 2.2. "(...) ¿hay que esperar que un estrechamiento de las condiciones equivalentes para dominar completamente el vínculo, es decir esperar saber a que estructura topológica dada corresponda exactamente un espacio de integrales abelianas de primera especie,y que esta relación esté completamente dominada y se sepa que no hay ningún intervalo que separe la existencia de las integrales abelianas y la estructura topológica, y por lo tanto una correspondencia enteramente satisfactoria entre dos visiones matemáticas? (...) ¿En qué medida la imitación funcional de una propiedad topológica constituye una prueba de existencia en el sentido adecuado? (...) En lo que sigue, me propondré como finalidad comparar los esquemas de génesis de Lautmann con los esquemas explícitos de derivación de existencia, tal como se esbozan en la matemática contemporánea. Y lo que diré, es que hay un pasaje a lo explícito (...) que es radical, restrictivo, necesario, por ejemplo para teoremas como los que surgen del problema de Dirichlet."
"Es este género de problemática de las síntesis que está presente cuando se habla de resultados virtuales, de resultados conjeturales, cuando se "siente" que se tiene un resultado, pero que todavía no está seguro, que se siente que las cosas son verdaderas, pero que no se las tiene todavía, que no se llega a formularlas con precisión. El aspecto de la síntesis está presente en la conjeturalidad en matemática (...). Y pienso que el problema de la existencia debe ser planteado en relación con la conjeturalidad." (p.25)
En conclusión el autor resume: "Lo que he querido poner en claro, es que la búsqueda matemática está implícita en cuestiones de existencia amorfas, que se sitúan en un nivel completamente indeciso, y que los matemáticos se enfrentan a la necesidad de tomar alguna iniciativa ante esas interrogaciones. Y esta necesidad está co-implicada en la idea de una respuesta completamente satisfactoria, es decir de condición necesaria y suficiente, y también de la idea de caracterización (...) o por el contrario de escrutar mucho más conscientemente la irreducibilidad recíproca de un problema al otro, su ajenidad. Esta exigencia hunde a menudo sus raíces en el debilitamiento de las condiciones originales." (p. 39).
Dentro de una impresición quizás inevitable, esa descripción me parece bastante elocuente y típica de la tensión dramática, propia de una cosa viva, que a menudo es el pensamiento de un matemático en los momentos previos a alcanzar un descubrimiento.
Montevideo, 25 de Febrero de 1998.
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