En esta tesis, se explora la conjetura paramodular, que relaciona superficies abelianas con formas de Siegel. La tesis busca probar la paramodularidad de ciertas superficies abelianas utilizando el método de Faltings-Serre para probar si las representaciones de Galois asociadas a estas superficies y formas paramodulares son isomorfas, con el objetivo de probar la paramodularidad de estas superficies
En esta tesis, estudiamos orbifolds asociados a mapas de Thurston. Un mapa de Thurston es un cubrimiento ramificado f : S^2 → S^2 en una 2-esfera tal que cada uno de sus puntos críticos tiene una órbita futura finita. La contribución clave de nuestro trabajo es establecer la fuerte relación entre los mapas de Thurston con orbifolds parabólicos y los cocientes de endomorfismos del toro (QOTEs). Un QOTE es un cubrimiento ramificado f : S^2 → S^2 tal que existe un cubrimiento F : T^2 → T^2 de grado d ≥ 2 en un toro, que es semiconjugado a f por un cubrimiento ramificado ρ : T^2 → S^2. Demostramos que todo QOTE tiene un orbifold parabólico, abordando una pregunta inicialmente planteada en [1]. Además, mostramos que los mapas de Thurston con orbifolds parabólicos y sin puntos críticos periódicos son QOTEs. Para los mapas de Thurston con orbifolds hiperbólicos, desarrollamos un nuevo marco que implica levantar estos mapas a cubrimientos ramificados en superficies de mayor género. Esta generalización lleva a la introducción de una nueva definición que amplía el concepto de QOTE, y plantea nuevas preguntas. [1] M.Bonk, D.Meyer. Expanding Thurston maps. ISBN-10: 0-8218-7554-X ISBN-13: 978-0-8218-7554-4 2017.
En este trabajo se estudian las propiedades dinámicas de homeomorfismos en tres variedades hiperbólicas, observando su interacción con una foliación de codimensión 1. Una foliación de una tres-variedad M se dice R-covered cuando su espacio de hojas es homeomorfo a R, y uniforme si todo par de hojas de la foliación levantada al recubrimiento universal está a distancia de Hausdorff finita una de la otra. Decimos que un homeomorfismo f:M→M homotópico a la identidad tiene velocidad de escape positiva con respecto a una foliación R-covered uniforme si las órbitas en el recubrimiento universal (por un levantado de f a distancia acotada de la identidad) tienden a infinito en el espacio de hojas. En la tesis se prueba que un homeomorfismo homotópico a la identidad en una tres-variedad hiperbólica con velocidad de escape positiva con respecto a una foliación R-covered uniforme posee infinitos compactos invariantes disjuntos.
En este trabajo de maestría se presenta una exposición del Teorema de Mazur sobre torsión racional de curvas elípticas, así como los resultados previos necesarios para comprender la prueba. Se recurre a herramientas y resultados profundos de geometría algebraica, entre ellos el modelo de Néron. Se presentan elementos de esquemas de grupos, curvas modulares y la teoría de reducción de curvas elípticas en cuerpos locales.
En 1986, Böcherer formuló una conjetura que relaciona los coeficientes de Fourier de una forma modular de Siegel con los valores centrales de su función L spin torcida por un carácter cuadrático. Böcherer demostró su conjetura en un caso particular --cuando la forma es un lift de Saito--Kurokawa-- relacionándola con la fórmula de Waldspurger. Recientemente, la conjetura fue demostrada. El problema que nos propusimos estudiar es el de la conjetura de Böcherer para formas paramodulares. Estas formas son de interés por la conexión con superficies abelianas predicha por la conjetura de paramodularidad. Estudiamos la demostración de la conjetura de Böcherer y su conexión con las conjeturas de Gan--Gross--Prasad y buscamos adaptar el esquema de la demostración al caso paramodular.
El objetivo de la tesis es presentar las propiedades básicas de la teoría de representaciones para las extensiones afines de una variedad abeliana. Esta teoría se presenta como una generalización de la teoría de representaciones de los esquemas en grupos afines. Una extensión afín S de una variedad abeliana A por un esquema en grupos afín H es una sucesión exacta corta de esquemas en grupos 1→H→G→A→0. Una representación de S es una acción de G sobre un fibrado vectorial homogéneo E sobre A tal que si q(g)=a, entonces la acción por g lleva la fibra sobre b a la fibra sobre a+b, de modo que el morfismo correspondiente es una transformación lineal. Presentamos la construcción de esta teoría de representaciones de S y la prueba de un teorema del tipo “dualidad de Tannaka” desarrollada recientemente por Rittatore, del Ángel y Ferrer. Estudiamos propiedades básicas de esta teoría como ser la caracterización de la semisimplicidad y del caso unipotente, obteniendo resultados que vinculan estos casos con la teoría de representaciones clásica para el caso afín.
A partir de trabajos de Gödel [1] y Cohen [2, 3] del siglo XX , sabemos que la hipótesis del continuo es independiente de la teoría de conjuntos de ZF. En base a esto, tenemos formas de construir modelos donde la hipótesis del continuo se cumple y modelos donde no se cumple. Respecto a los modelos en los que la hipótesis del continuo no se cumple, si bien se demuestra que efectivamente esta no se cumple, no parece haber una intuición clara detrás de la construcción, más allá de aspectos abstractos de cardinalidad. El objetivo motivador de este trabajo, fue dar una prueba de la consistencia relativa de la negación de la hipótesis del continuo en la que haya una explicación intuitiva de que esta no se cumple en el modelo considerado. Específicamente, construimos un modelo en el que la negación de la hipótesis del continuo se explica con intuiciones de probabilidad. Para esto nos basamos en un artículo de Scott [4], en el que realiza una prueba de la negación de la hipótesis del continuo a partir de álgebras booleanas que provienen de espacios de probabilidad . Esta prueba es en un marco más débil que la teoría de conjuntos de ZF, esencialmente en una teoría de reales de tercer orden (con reales, funciones y funcionales). En este trabajo, generalizamos la construcción de Scott a una teoría de los números reales expresada en lógica de orden superior, usando una presentación en el estilo de la teoría de tipos simples de Church [5]. Para ello, introducimos la categoría de los Bconjuntos (a saber: conjuntos equipados con B-relaciones de equivalencia), en la cual modelamos nuestra teoría de orden superior. Finalmente, logramos adaptar la prueba de Scott para que la negación de la hipótesis del continuo tenga una explicación intuitiva en base a conceptos de reales aleatorios.
Desde los primeros años de la teoría de la Relatividad General se ha buscado comprender el comportamiento a largo plazo de las soluciones cosmológicas de las ecuaciones de Einstein en el vacío. Soluciones con simetrías globales, o perturbaciones de ella, han sido fuertemente estudiadas y son razonablemente entendidas. Por otro lado, gracias a los trabajos de Fischer, Moncrief, y M. Anderson, se sabe que hay una estrecha relación entre la evolución futura de las soluciones y la descomposición de Thurston de la 3-variedad espacial subyacente. Consecuentemente, los espacio-tiempos cosmológicos desarrollando una simetría asintótica deberían representar una pequeña parte de la gran variedad de comportamientos a largo plazo que aún no son conocidos. Este trabajo revisita un programa iniciado por M. Reiris que apunta a construir un nuevo tipo de solución cosmológica que fue propuesta por M. Anderson. En esta solución, escalando adecuadamente, dos variedades hiperbólicas con una cúspide cada una se separan a través de un cuello toroidal que las conecta a través de sus cúspides. En este trabajo se prueba que la solución llamada doble cúspide, espaciotiempo con simetría T2 que modela el comportamiento esperado en el cuello,es estable bajo perturbaciones que preservan la simetría. La prueba se reduce a probar la estabilidad de un segmento geodésico como mapa de ondas en el plano hiperbólico, y se relaciona con el trabajo de Sideris en mapas de ondas y el trabajo de Ringström sobre las asintóticas a futuro de los espacio tiempos de Gowdy T3.
En este trabajo estudiaremos la nocíon de categoría modelo y su correspondiente categoría de homotopía derivada. Veremos dos ejemplos de esta estructura: la categoría de espacios topológicos y la categoría de conjuntos simpliciales. Asimismo, estableceremos una equivalencia de Quillen entre ambas categorías. Estudiaremos, posteriormente, la estructura de categoría modelo estable y veremos cómo esta condición de estabilidad implica de la categoría de homotopía resulte ser una categoría triangulada.
Dado un subgrupo discreto \( \Gamma\) de \(PSL(2, \mathbb{R}) \) con cociente compacto, presentamos un método de discretización del Movimiento Browniano en el Plano Hiperbólico, mediante el cual se obtiene una probabilidad \( \mu \) de soporte en \(\Gamma \) para la cual la medida visual es estacionaria. Obtenemos además que dicha probabilidad tiene momento exponencial finito.
El problema de tres cuerpos es un problema simple de relevancia histórica: determinar el movimiento de tres cuerpos modelados como masas puntuales cuyo movimiento queda determinado por la ley de gravitación universal de Newton. A fines de siglo XX, ante la pregunta sobre la integrabilidad de este problema, Poincaré prueba que bajo ciertas restricciones éste resulta no integrable, dando lugar a los orígenes de la teoría del caos. Para esta prueba construye por métodos perturbativos una superficie de sección transversal que permite una traducción de la dinámica a un mapa de retorno conservativo. \( \\ \) La simplificación del problema que nos interesa consiste en considerar uno de los cuerpos con asa despreciable, restringirse a movimientos en el plano, y asumir que el movimiento de los cuerpos de masa no despreciable queda descrito por círculos concéntricos centrados en su centro de masa. Siguiendo con la filosofía de Poincaré, se piensa a este problema como la perturbación de uno más sencillo y de esta forma Conley construye a mediados de siglo XX un anillo de sección transversal para energías suficientemente bajas, usando como borde del anillo dos órbitas periódicas especiales. \( \\ \) Este problema sigue siendo material de estudio y en este sentido es que en las últimas décadas se ha intentado dar resultados no perturbativos. Un camino en esta dirección surge de la interacción de la teoría de curvas pseudoholomorfas y geometría de contacto. La tesis intenta dar un recuento histórico con una visión moderna de ciertos abordajes al problema, finalizando con una lectura informal de la aplicación de resultados notables de Wysocki, Hofer y Zehnder en esta búsqueda, no perturbativa, de superficies de sección globales para el problema de tres cuerpos restricto planar-circular.
Dado un conjunto finito de matrices de \(PSL(2,\mathbb{R} ) \) que generan libremente un grupo de Schottky y una probabilidad soportada en estas matrices, probamos que la medida estacionaria de la caminata al azar asociada tiene dimensión de Hausdorff estrictamente más chica que el conjunto límite del grupo en el borde del plano hiperbólico. En particular, si fijamos un punto del plano hiperbólico, la medida de Patterson Sullivan correspondiente es singular con respecto a la medida estacionaria de la caminata. Esto prueba casos particulares de una conjetura aún abierta debida a Vadim Kaimanovich y Vincent LePrince.
En esta tesis presentaremos algunos resultados sobre foliaciones uniformes en tres variedades. Una foliación en una tres variedad compacta es uniforme si cualquier par de hojas de la foliación inducida en el cubrimiento universal se encuentran a distancia de Hausdorff acotada. Las foliaciones uniformes fueron introducidos originalmente por Thurston, quien estaba estudiando deslizamientos de tres variedades sobre el circulo (“slitherings” en ingles). Uno de los objetivos del texto es presentar un resultado reciente de S. Fenley y R. Potrie, que nos dice que toda foliación uniforme sin componentes de Reeb proviene de un deslizamiento sobre el circulo. El otro objetivo es mostrar resultados originales sobre foliaciones uniformes con componentes de Reeb. Motivados por una pregunta de S. Fenley y R. Potrie, presentamos una familia de tres variedades con grupo fundamental infinito y equipadas con foliaciones uniformes. Luego, mostraremos algunos resultados sobre el comportamiento de tales foliaciones en una tres variedad fuera de esta familia.
El objetivo de este trabajo es entender cómo se puede estudiar la geometría de un espacio simétrico de tipo no compacto mediante su grupo de isometrías. Damos cuenta de algunos resultados de grupos y álgebras de Lie semisimples que nos permiten obtener conclusiones de estos espacios. Presentamos un lema de Morse demostrado por Kapovich-Leeb-Porti siguiendo la demostración de Bochi-Potrie-Sambarino, que generaliza un resultado clásico de la geometría hiperbólica. Por medio del estudio de este resultado buscamos entender cómo el borde de Furstenberg nos ayuda a estudiar la geometría de estos espacios.
La ocurrencia de los horizontes de Cauchy, que delimitan la región de causalidad (y predictibilidad) del dato inicial, es uno de los fenómenos más intrigantes de la Relatividad General. Recientemente se ha demostrado que la presencia de un horizonte de Cauchy compacto y no degenerado en el vacío implica la existencia de una simetría especial del espacio-tiempo. Explotando la existencia de dicha simetría, en este trabajo mostramos que en un horizonte de Cauchy compacto y no degenerado se debe cumplir uno de los siguientes: (i) todos los generadores nulos son cerrados, o, (ii) solo dos generadores nulos son cerrados, y los otros son densos en 2-toros, o (iii) todos los generadores nulos son densos en 2-toros, o (iv) todos los generadores nulos son densos en el horizonte. Como consecuencia, si se cumple (i) el horizonte es una variedad de Seifert, si se cumple (ii) es un espacio lenticular, si se cumple (iii) es un fibrado por 2-toros sobre un círculo y si se cumple (iv) es un 3-toro. Finalmente, si existe un generador denso, probamos que la solución a la ecuación de Einstein en el vacío es el espacio de Kasner plano, cerrando una conjetura de Isenberg-Moncrief.
Consideremos el “Último Teorema de Fermat” como puntapié a las herramientas que vamos a exponer. El “Último Teorema de Fermat”, enuncia que si \( n\) es un entero mayor a 2, y existen enteros \( a, b, c \) tales que $$a^n + b^n = c^n $$ entonces \( abc = 0 \). Es claro que si, por ejemplo \(b = 0\), entonces poniendo \(a = c\), tenemos infinitas soluciones enteras al problema. Esto lo podemos hacer siempre que uno de los tres términos sea cero. Llamaremos soluciones triviales a este tipo de soluciones. Otra forma distinta de enunciar el teorema es decir entonces que no hay soluciones no triviales si \(n > 2\). \( \\ \) Uno se encuentra entonces con un problema en el cual no puede “chequear” a mano todos los casos, ni de \(a\), ni de \(b\), ni de \(c\), ni de \(n\), porque son infinitos. Es aquí cuando la matemática necesita de estrategias diferentes y de nueva formas y objetos para atacar el problema. La estrategia es simple y es la siguiente (que es muy usual en problemas matemáticos): asociarle a una posible solución no trivial un objeto con un determinado conjunto de propiedades, y luego concluir que tal objeto no puede existir. Lo difícil es claro, definir el objeto correcto y encontrarle propiedades que lleven a esa conclusión. En este problema en particular, ese trabajo llevó casi 400 años, pero permitió desarrollar una nueva forma de estudiar problemas aritméticos que se sigue utilizando a día de hoy y a la que se le siguen buscando nuevas generalizaciones para resolver problemas más difíciles.
El flujo horocíclico en una superficie de curvatura negativa está estrechamente relacionado al flujo geodésico, el cual a su vez tiene propiedades de hiperbolicidad. En el contexto de curvatura negativa constante, resultados de Dani, Ratner y otras persona dan una descripción muy precisa de las medidas de probabilidad invariantes por el flujo horocíclico, pero poco se sabe de la clausura de las órbitas cuando la superficie tiene volúmen infinito, particularmente, cuando es de tipo infinito. Recientemente, Matsumoto estudio una clase de superficies de curvatura negativa que aparecen naturalmente en el estudio de ciertas laminaciones por superficies hiperbólicas y logró probar que en dichas superficies el flujo horocíclico no tiene conjuntos minimales. El objetivo de este trabajo es extender esos resultados al contexto de curvatura negativa variable y describimos la clausura de algunas órbitas horocíclicas en esta clase de superficies. La dificultad de la extensión, radica en que no se cuenta con las técnicas algebraicas disponibles en el caso de curvatura constante. Muchas ideas se apoyan en un influyente trabajo de Dal’Bo en el que estudia el caso de superficies de tipo finito.
Entre los problemas de estadística y probabilidad, la investigación de la teoría estocástica de control óptimo empezó entre 1940 y 1950. Uno de los aspectos de esta teoría es que en contraste con el análisis clásico, el número de observaciones no está fijo y el tiempo en que las observaciones son terminadas es aleatorio y definido por el observador. En esta tesis se trabajará con procesos de Lévy. En este contexto ya se han resuelto varios de los problemas, en los cuales es un requerimiento necesario para detener las observaciones que el proceso en ese tiempo sea positivo. El aporte de la tesis es un nuevo método que sirve para resolver problemas en el caso en que dicho requerimiento no es necesario y la resolución de un problema de parada óptima de este tipo (que se denomina bilateral). Este se basa en el estudio de las propiedades de la función obtenida al retirar las observaciones en un tiempo óptimo.
Una representación unitaria es un morfismo de un grupo \(G\) al espacio de transformaciones unitarias de un espacio de Hilbert. Cuando la representación viene dada por la acción de un grupo en un espacio preservando la clase de una medida, se llama representación quasi-regular. Las representaciones borde son representaciones quasi-regulares asociadas a ciertas acciones naturales de ciertos grupos en sus bordes. Recientemente se han estudiado estos ejemplos de representaciones y mostrado en algunos casos que son irreducibles y que reflejan la geometría del grupo. Este trabajo busca introducir la teoría de representaciones unitarias de grupos discretos y en particular las representaciones borde de grupos hiper- bólicos discretos. Esto se logra a través del estudio de resultados clásicos de la teoría de representaciones en este contexto así como algunos resultados recientes de irreducibilidad y rigidez de representaciones borde.
Un conocido resultado de Brouwer afirma que cualquier homeomorfismo del plano que preserva orientación y no tiene puntos fijos, tiene conjunto no errante vacío. En particular, un compacto invariante implica la existencia de un punto fijo. En este trabajo damos condiciones suficientes para que cubrimientos ramificados de grado 2 del plano tengan un punto fijo, a saber: \( \\ \) \( \cdot \) Un compacto totalmente invariante, que no separa el punto crítico de su imagen. \( \\ \) \( \cdot \) Un compacto invariante con un entorno conexo \( U \), tal que \( T(U ∪ f(U)) \) no contiene el punto crítico ni su imagen. \( \\ \) \( \cdot \) Un continuo invariante, tal que el punto crítico y su imagen pertenecen a la misma componente conexa de su complemento.
Paramodularidad de superficies abelianas - Pablo Maurente (2024)