En general no es sencillo encontrar difeomorfismos Establemente Ergódicos y actualmente se conocen pocos ejemplos (no triviales) de este tipo. En este trabajo se presentará nuevas técnicas para probar la Estabilidad Ergódica de un difeomorfismo bajo ciertas hipótesis. Además dichas técnicas permitirá probar lo establecido anteriormente de una manera más simple de la que se conoce hasta hoy. Por ultimo se aplicará ejemplos ya conocidos.
La Teoría de Respuesta al Ítem es un enfoque dentro de la teoría de los test que bajo hipótesis adicionales permite un acercamiento a problemas que la Teoría Clásica de los test no permite. En principio presenta los resultados de el acierto a un ítem en función de un rasgo latente continuo, más exactamente como una probabilidad condicional a la cual se llama curva característica del ítem. El desarrollo de este enfoque permitirá la posibilidad de obtener mediciones invariantes respecto a los individuos implicados y de los ítems utilizados. Esto es sumamente importante ya que en la Teoría Clásica al ser el resultado de la medición función del instrumento hay serias dificultades para establecer la equivalencia de puntuaciones medidas por dos instrumentos diferentes en la misma variable. \( \\ \\ \\ \) Este problema fue planteado por Thurstone en 1928 donde claramente explica que la medida que de un instrumento debe ser independiente de los objetos medidos. También las propiedades psicométricas obtenidos mediante teoría clásica, como ser la fiabilidad o dificultad de los ítems dependen de la muestra de sujetos a los cuales se ha aplicado el instrumento de medida. Es así que la Teoría de respuesta al Ítem tiene como sus dos principales objetivos la de obtener mediciones invariantes respecto de los test usados y que las propiedades de estos test no dependan de los sujetos medidos. A partir de esto también se obtienen otra serie de ventajas de orden técnico como ser el error típico de medida para los diferentes valores del rasgo y las funciones de información de los ítems.
En este trabajo estudiamos flujos expansivos, especialmente en presencia de puntos de equilibrio. Analizamos propiedades generales así como su estructura en variedades de dimensión uno y dos. Finalmente damos una aplicación a los billares poligonales plano.
En esta tesis daremos los fundamentos básicos del problema de la resolución de la ecuación cohomológica y nos focalizaremos en el problema inverso de conocer que campos de vectores están libres de cohomología. Mostraremos avances recientes hacia la prueba de la conjetura de Katok que dice que los campos de vectores libres de cohomología son \(C^{\infty} \) conjugados a campos de vectores Diofantinos en toros. Al final mostraremos que existe una conjugación diferenciable (en el sentido Chen-Iglesias) entre la dinámica de un campo sin cohomología y la dinámica lineal en un grupo abeliano.
Este trabajo se enmarca en el contexto de Criptografía de Curvas Elípticas. Uno de los tópicos principales en dicha área son los criptosistemas basados en el Problema del Logaritmo Discreto (PLD) en Curvas elípticas. Este es un caso particular de criptosis- temas de clave pública que basa su seguridad en la dificultad de resolver el PLD en un grupo abeliano. \( \\ \\ \\ \) Inicialmente se tomó como grupo, el grupo multiplicativo de un cuerpo finito. Al ser descubierto un algoritmo de tiempo subexponencial para resolver el PLD en esos grupos (basado en el Index Calculus) se necesitaban claves cada vez más largas para garantizar un buen nivel de seguridad. \( \\ \\ \\ \) En 1985 independientemente Koblitz y Miller propusieron utilizar el grupo formado por los puntos racionales de una curva elíptica definida sobre un cuerpo finito. La ventaja primordial, es que se lograban alcanzar los mismos niveles de seguridad que utilizando el grupo multiplicativo de un cuerpo finito utilizando claves mucho más cortas. Esta característica lo hacía ideal para ser utilizado en dispositivos con entornos operativos restringidos (limitaciones de memoria, ancho de banda, potencia, etc). \( \\ \\ \\ \) Hasta el momento no se ha encontrado un algoritmo de tiempo subexponencial capaz de resolver el PLD en curvas elíıpticas en general y se ha convertido en uno de los principales estándares a ser utilizado en la actualidad. No todas las curvas elípticas definidas sobre el mismo cuerpo finito ofrecen el mismo nivel de seguridad respecto del PLD. Se conocen criterios que hacen a una curva débil, todos ellos se reducen de alguna forma a alguna condición sobre la cantidad de puntos racionales que posea la curva. Sin embargo, aún es un problema en abierto determinar si el hecho de que dos curvas (definidas sobre el mismo cuerpo finito) posean la misma cantidad de puntos racionales implica necesariamente que la dificultad de resolver el PLD en ambas curvas sea equivalente. \( \\ \\ \\ \) Una manera de probar la equivalencia del PLD en dos grupos es encontrando un isomorfismo entre ambos grupos que tanto él, como su inversa puedan ser computados eficientemente (digamos, en tiempo polinomial por ejemplo). Esto es fácil de ver, dado que los isomorfismos preservan el orden de los elementos. Generalizando esta idea, se puede llegar a la conclusión que basta con que haya una cadena de homomorfismos de grupo (cada una con kernel de cardinal pequeño y conocido) que partiendo de uno de los grupos llegue al otro; en este caso cada homomorfismo debe ser eficientemente computable.
La correspondencia de Eichler relaciona en forma no canónica el espacio, intuitivamente analítico, de las formas modulares de peso 2 para \( \Gamma_0 ( N ) \), con un espacio intuitivamente algebraico construido a partir la aritmética de órdenes maximales de un álgebra de cuaterniones ramificada en \(N \) e infinito, para \( N \) primo. \( \\ \\ \\ \) Se define la \(L\)-serie \(L_{\mathcal(A)} ( f , s) \) para \(f\) una forma cuspidal de peso 2 para \(Γ_0 ( N ) \) vector propio para los operadores de Hecke; y \(\mathcal{A} \) una clase de ideales en el anillo de enteros \( \mathcal{O}_K \) del cuerpo cuadrático imaginario \(K\) de discriminante \(− D\), con \(D\) primo distinto de \(N\). \( \\ \\ \\ \) La fórmula de Gross expresa el valor central \(L_{\mathcal{A}} ( f , 1) \) en función del producto interno de \( f \) con cierta forma modular \(G_{\mathcal{A}} \) construida a partir de inmersiones del cuerpo cuadrático de discriminante \(− D \) en el álgebra de cuaterniones ramificada en \(N\) e infinito, y la correspondencia de Eichler. \( \\ \\ \\ \) En estas páginas se presenta una formulación del resultado de Gross; la demostración, que consiste en una manipulación esencialmente analítica del lado de la \(L\)-serie, y una manipulación algebraica del lado de las álgebras de cuaterniones que conducen al mismo resultado; y algunos corolarios relacionados con formas modulares de peso medio entero y la correspondencia de Shimura.
El objeto de estudio de este trabajo está enmarcado dentro del área de la teoría de representaciones de álgebras, y dentro de ésta, en el uso de carcajes como herramienta para la comprensión de la categoría de los módulos asociados a un álgebra. \( \\ \\ \\ \) Más específicamente, el objetivo del trabajo será clasificar con respecto a su tipo de representación a un conjunto de álgebras llamadas Toupie. Dichas álgebras son de la forma \(kQ/I\) siendo \(kQ\) el álgebra de caminos de un carcaj Toupie e \( I \) un ideal admisible. Un carcaj Toupie es aquel que tiene única fuente, único pozo y dado un vértice que no es pozo ni fuente una única flecha llega a é́l y una única flecha sale de él. Cuando decimos clasificar según su tipo de representación nos referimos a agrupar a las álgebras Toupie en tres clases: las de tipo de representación finita, tipo de representación ́infinita mansa y tipo de representación infinita salvaje según la cantidad de representaciones indescomponibles no isomorfas que posean. \( \\ \\ \\ \) La importancia de clasificar las á́lgebras Toupie en la teoría de representaciones de álgebras radica en el hecho que el carcaj asociado a un álgebra triangular (\(Q\), el carcaj asociado al álgebra triangular no posee ciclos orientados) se escribe como unión de carcajes Toupie. Estas álgebras ya han sido trabajadas en “Toupie algebra, some examples of laura algebras” y en “Hochschild cohomology of a generalisation of canonical algebras.”
En los últimos tiempos se han desarrollado una gran variedad de modelos basados en procesos de Lévy que buscan reproducir las propiedades empíricas de los precios de las opciones y de los retornos de sus subyacentes. Si bien este objetivo ha sido alcanzado razonablemente, los mismos no son capaces de explicar de forma satisfactoria la conexión entre la probabilidad histórica –que reproduce la dinámica del subyacente– y la de riesgo neutral –la cual se encuentra implícita en los precios de opciones. \( \\ \\ \\ \) Otra rama de la investigación ha optado por priorizar este nexo. La transformada clásica de Esscher forma parte de la misma, define una probabilidad libre de riesgo de forma que deviene equivalente con la histórica y un proceso de riesgo neutral que, al igual que el supuesto para el subyacente, resulta un proceso de Lévy. Sin embargo, el desajuste con los precios de mercado de las opciones es, en general, no despreciable. El núcleo del trabajo consiste en la propuesta de dos generalizaciones paramétricas para la transformada de Esscher que, sin resignar las propiedades mencionadas, logre que los precios teóricos de opciones se ajusten de forma razonable a las de mercado. La parte final del artículo incluye ilustración del método aplicado al índice S&P 500.
El objetivo final de este trabajo es la generalización, a las acciones parciales, del Teorema Simétrico de Imprimitividad de Raeburn, y en particular el Teorema de Green. \( \\ \\ \\ \) A partir de acciones de un grupo de Hausdorff localmente compacto, en una \(C^*\)-álgebra \(A\) y en un espacio de Hausdorff localmente compacto \(X\), podemos construir la acción diagonal en el fibrado trivial \(A \times X \rightarrow X \). De esta manera el teorema de Raeburn se traduce en un teorema sobre acciones en fibrados de \(C^*\)-álgebras. Este resultado tiene un enunciado para acciones parciales, las cuales se definen en el capítulo 2. La manera de probarlo es considerar primero el caso de acciones globales, para luego, utilizando la construcción de acciones envolventes, reducir la demostración a esa situación. Todo esto se hace en el capítulo 3. Finalmente, en el capítulo 4, se indica cómo obtener los teoremas de Raeburn y Green, y sus respectivos enunciados para acciones parciales, a partir de los resultados del capítulo 3. Además se discuten las situaciones planteadas para acciones parciales.
Esta tesis está dividida en tres partes, en la primera se presentan algunos resultados referidos a la estimación de conjuntos para el caso en que podemos discernir si un punto de una muestra pertenece o no al conjunto. En particular estudiaremos los casos en que el conjunto es el soporte de una densidad o un conjunto de nivel de la misma. La segunda se centra en el cálculo del contenido de Minkowski de su superficie lateral; serán necesarias hipótesis de regularidad sobre el borde del conjunto. La tercera parte se centra en el estudio del caso en el que no se puede determinar si los puntos están en el conjunto a estimar o no.
Este trabajo está dedicado al estudio del producto cruzado de una \(C^*\)-álgebra unital por un endomorfismo de acuerdo con la definición introducida por Ruy Exel. Dos características que distinguen esta construcción de otras similares son, por un lado, el hecho de no imponer condiciones sobre el endomorfismo, y por otro, la introducción de un operador de transferencia que desempeña el papel de “inversa" del endomorfismo en cuestión. Uno de los principales resultados aquí presentados es la identificación de este producto cruzado con el álgebra de Cuntz-Pimsner relativa (de acuerdo a la definición de Muhly y Solel) determinada por una correspondencia que está naturalmente asociada al endomorfismo. Posteriormente se estudian algunos ejemplos concretos de esta construcción y se la compara con otras nociones existentes del producto cruzado por un endomorfismo. Finalmente, se estudia en detalle esta construcción en el caso de álgebras conmutativas. Cuando el endomorfismo está inducido por un mapa de recubrimiento en un espacio compacto, se muestra cómo varias propiedades de su dinámica topológica se traducen en propiedades algebraico-analíticas del producto cruzado que él determina.
En este trabajo encontraremos para variedades de dimensión 3, un conjunto residual \(R\) en un abierto de \(Diff_m^1 (M) \) tal que todo difeomorfismo \(f \in R \) tiene todos sus exponentes de Lyapunov nulos en casi todo punto.
Este trabajo desarrolla la teoría de los juegos estocásticos transitorios, basado principalmente en resultados del libro de Filar y Vrieze; éstos son una clase particular de juego estocástico con horizonte infinito, en que se tiene un estado especial en que el juego se considera finalizado, que se alcanza con probabilidad uno, de modo que la suma total (sin descuento) de la ganancia instantánea a lo largo de los infinitos pasos resulta bien definida. En particular se llega a métodos concretos para hallar las estrategias óptimas para estos juegos y se incluye la aplicación a un juego de dados conocido como “la codicia” o “el uno”.
Esta tesis trata de teoremas ergódicos. Entendemos por teorema ergódico aquel que hace una afirmación sobre lo que le pasará casi seguramente a cierto tipo de sucesiones aleatorias. \( \\ \\ \\ \) Históricamente el primer teorema de este tipo es la Ley de Grandes Números, que afirma que para sucesiones de números aleatorios que son inde- pendientes e idénticamente distribuidos y además cumplen una condición de acotación (que en este caso es que tengan esperanza finita) casi seguramente la sucesión de promedios parciales convergerá a un número fijo (no aleatorio) que es la esperanza de cualquiera de las variables. Las primeras versiones de este teorema fueron demostradas a principios del siglo XIX, pero las obser- vaciones empı́ricas que motivan el teorema son mucho más antiguas.
La conjetura de medida cero para los conjuntos de Julia con interior vacío ha sido uno de los problemas centrales en dinámica holomorfa en una dimensión. En este trabajo presentamos una solución al problema, basados en los recientes trabajos de A. Cheritat y X. Buff. Ésto fue la culminación de un programa iniciado por su orientador común, A. Douady a comiensos de los 90. La respuesta negativa a la conjetura crea nuevas preguntas y las técnicas desarrolladas tienen aplicaciones sobre una gran variedad de problemas en el área.
Consideremos una bandada de pájaros ordenada según una jerarquía. En este trabajo estudiamos el alineamiento asintótico de las velocidades, o “flocking", en la bandada cuando cada uno de los pájaros corrige su velocidad, en cada etapa, de acuerdo a un promedio ponderado de las velocidades de los pájaros superiores a él en la jerarquía, donde la ponderación decrece con la distancia entre los pájaros. Este modelo, llamado de liderazgo jerárquico, fue propuesto y estudiado por Shen, modificando el modelo ya clásico propuesto por Cucker y Smale. En nuestro modelo elegimos al azar cuales interacciones actúan, respetando la jerarquía, en forma independiente para cada par de pájaros y cada tiempo, debilitando entonces la interacción en la bandada del modelo de Shen. Es decir, buscamos analizar casos donde la comunicación entre los pájaros se ve entorpecida por la presencia de cierto `ruido'. Los resultados obtenidos son análogos a los obtenidos por Shen, es decir, condiciones suficientes para la alineación asintótica de las velocidades, en otros términos, la existencia de flocking.
Este trabajo trata sobre problemas de seleccion de modelo. El capitulo 0 plantea un estudio general de estos problemas estadisticos. Dados un proceso estocastico y una familia de clases de modelos, con cada clase determinada por un parametro de estructura y cada modelo dentro de una clase descrito por un vector de parametros en un espacio cuya dimension depende de la estructura. Supongamos que dada una realizacion del proceso podemos estimar el vector de parametros si la estructura es conocida. La tarea es estimar esta ultima. \( \\ \\ \\ \) Trabajamos usando el concepto de criterio de informacion, el parametro de estructura es estimado mediante minimizar un valor asignado a cada clase de modelos. Los criterios mas utilizados son el Criterio de Informacion Bayesiano (BIC) y el principio del minimo largo de descripcion (MDL). El BIC consiste de dos terminos: menos el logaritmo de la maxima verosimilitud, esto mide la bondad de ajuste; y la mitad del numero de parametros libres por el logaritmo del tamaño muestral, esto penaliza modelos muy complejos. \( \\ \\ \\ \) En el capitulo 2, incluimos algunos resultados recientes en estimacion de cadenas de Markov de alcance variable (VLMC), los cuales nos ayudaran a entender mas en profundidad el problema planteado. Basados en Csiszar y Talata (2006) extendemos el concepto de arbol de contextos para procesos ergodicos arbitrarios y demostramos que los principios BIC y MDL dan estimadores fuertemente consistentes del arbol de contextos. \( \\ \\ \\ \) En el capitulo 3 presentamos una nueva e ingeniosa representacion de los modelos Markovianos: los modelos de arbol de contexto disperso (stms), una generalizacion de las cadenas de alcance variable, donde permitimos juntar conjuntos mas generales de estados con distribuciones similares, y preservamos la util estructura combinatoria de los arboles de contextos. El tema principal del trabajo es estudiar un metodo para estimar la estructura en esta clase de modelos parsimoniosos. Mostraremos resultados de consistencia para estimadores basados en el principio MDL, el objetivo es encontrar el menor arbol que determina las probabilidades de transicion. \( \\ \\ \\ \) Finalmente, en el capitulo 4 describimos brevemente algunas aplicaciones en Biologia y Teoria de la Informacion. Ilustramos como estas tecnicas pueden ser utilizadas para clasicar familias de proteinas. Ademas mostramos como se pueden utilizar para comprimir imagenes bitonales, dando lugar a un metodo de compresion sin perdida que mejora la performance de los metodos basados en arboles de contexto, y de varios algoritmos populares de compresion.
En esta tesis presentamos resultados genéricos de difeomorfismos de variedades relacionados con una conjetura que afirma que una clase homoclínica genérica con interior ha de ser toda la variedad. En particular, damos una prueba nueva para el caso en dimensión 2 (este resultado se encontraba probado) y una prueba para un caso particular en dimensión 3 (por ejemplo, cuando la clase homoclínica se encuentra lejos de tangencias).
El tema principal de este trabajo es el estudio del número de soluciones de un sistema de \( m \) ecuaciones polinomiales en \( m \) incógnitas reales, cuando los coeficientes son tomados al azar. Mostraremos dos enfoques diferentes de como atacar el problema. \( \\ \\ \\ \) El primero es utilizado por M. Shub y S. Smale, que introducen una medida particular en el espacio de coeficientes con cierta propiedad geométrica (invarianza bajo la acción del grupo ortogonal) y mediante la Fórmula de co-área logran computar el promedio del número de soluciones. \( \\ \\ \\ \) El segundo enfoque se debe a J.M. Azaïs y M. Wschebor, en donde utilizan la fórmula de Rice que expresa los momentos del número de pre-imágenes de un campo aleatorio \(f : M \rightarrow \mathbb{R}^d \), donde \( M \) es un subconjunto de \(\mathbb{R}^d\) , mediante una integral. Este nuevo enfoque permite generalizar el primero a otras medidas en el espacio de coeficientes. En particular mostraremos como se puede atacar con estos métodos un nuevo problema. Dicho problema consiste en estudiar que le sucede al número de soluciones de un sistema polinomial determinístico cuando a éste se lo perturba aleatoriamente. \( \\ \\ \\ \) Más precisamente, consideraremos sistemas polinomiales aleatorios de la forma \(P_i (t) + X_i (t) = 0\), \(t \in \mathbb{R}^m\), \(i = 1, . . . , m\), donde los \(P_i′ s\) (señal ) son polinomios no aleatorios y \(X_i′s\) (ruido) son polinomios aleatorios independientes con distribución Gaussiana centrada invariantes bajo transformaciones ortogonales del espacio. Para cada \( i\) fijo, los polinomios \( P_i \) y \( X_i \) tienen grado efectivo \( d_i \). \( \\ \\ \\ \) Probaremos que bajo ciertas hipótesis en lo referente a la relación entre la señal y el ruido, el cociente entre el número esperado de soluciones del sistema perturbado y el número esperado de soluciones del sistema centrado, tiende geométricamente a cero cuando el tamaño del sistema crece. Esto significa que el comportamiento del valor esperado del número de soluciones es dominado por el ruido. \( \\ \\ \\ \) Además de establecer los pre-requisitos geométricos necesarios para estudiar el primer enfoque, incluiremos una demostración del teorema de Bézout. También estudiaremos la conexión entre los dos enfoques, el cual nos ayudará entender más en profundidad el problema planteado.
La teoría de dualidad de variedades proyectivas, en particular de cónicas planas, es un tema clásico de la geometría. Por otro lado, y bajo distintas apariencias, las variedades proyectivas duales han sido consideradas en varias ramas de la matemática. En este trabajo nos concentramos en el estudio de la dualidad en el contexto de las variedades tóricas proyectivas. En particular, clasificamos y damos una descripción completa de las variedades tóricas autoduales. Esta clasificación nos permite construir familias infinitas de variedades tóricas autoduales no lisas, ampliando de este modo las familias de variedades autoduales conocidas hasta el momento.
Ejemplos Establemente Ergódicos - Gabriel Nuñez (2013)