El tema principal de este trabajo es el estudio del número de soluciones de un sistema de \( m \) ecuaciones polinomiales en \( m \) incógnitas reales, cuando los coeficientes son tomados al azar. Mostraremos dos enfoques diferentes de como atacar el problema. \( \\ \\ \\ \) El primero es utilizado por M. Shub y S. Smale, que introducen una medida particular en el espacio de coeficientes con cierta propiedad geométrica (invarianza bajo la acción del grupo ortogonal) y mediante la Fórmula de co-área logran computar el promedio del número de soluciones. \( \\ \\ \\ \) El segundo enfoque se debe a J.M. Azaïs y M. Wschebor, en donde utilizan la fórmula de Rice que expresa los momentos del número de pre-imágenes de un campo aleatorio \(f : M \rightarrow \mathbb{R}^d \), donde \( M \) es un subconjunto de \(\mathbb{R}^d\) , mediante una integral. Este nuevo enfoque permite generalizar el primero a otras medidas en el espacio de coeficientes. En particular mostraremos como se puede atacar con estos métodos un nuevo problema. Dicho problema consiste en estudiar que le sucede al número de soluciones de un sistema polinomial determinístico cuando a éste se lo perturba aleatoriamente. \( \\ \\ \\ \) Más precisamente, consideraremos sistemas polinomiales aleatorios de la forma \(P_i (t) + X_i (t) = 0\), \(t \in \mathbb{R}^m\), \(i = 1, . . . , m\), donde los \(P_i′ s\) (señal ) son polinomios no aleatorios y \(X_i′s\) (ruido) son polinomios aleatorios independientes con distribución Gaussiana centrada invariantes bajo transformaciones ortogonales del espacio. Para cada \( i\) fijo, los polinomios \( P_i \) y \( X_i \) tienen grado efectivo \( d_i \). \( \\ \\ \\ \) Probaremos que bajo ciertas hipótesis en lo referente a la relación entre la señal y el ruido, el cociente entre el número esperado de soluciones del sistema perturbado y el número esperado de soluciones del sistema centrado, tiende geométricamente a cero cuando el tamaño del sistema crece. Esto significa que el comportamiento del valor esperado del número de soluciones es dominado por el ruido. \( \\ \\ \\ \) Además de establecer los pre-requisitos geométricos necesarios para estudiar el primer enfoque, incluiremos una demostración del teorema de Bézout. También estudiaremos la conexión entre los dos enfoques, el cual nos ayudará entender más en profundidad el problema planteado.
La teoría de dualidad de variedades proyectivas, en particular de cónicas planas, es un tema clásico de la geometría. Por otro lado, y bajo distintas apariencias, las variedades proyectivas duales han sido consideradas en varias ramas de la matemática. En este trabajo nos concentramos en el estudio de la dualidad en el contexto de las variedades tóricas proyectivas. En particular, clasificamos y damos una descripción completa de las variedades tóricas autoduales. Esta clasificación nos permite construir familias infinitas de variedades tóricas autoduales no lisas, ampliando de este modo las familias de variedades autoduales conocidas hasta el momento.
Este trabajo trata de estudiar la estructura algebraica del espacio de clases libres de homotopía de curvas sobre una superficie y del espacio de las palabras cíclicas. \( \\ \\ \\ \) En el primer capítulo se da la definición de biálgebras de Lie y se presentan algunos ejemplos de ellas. El segundo capítulo se define el espacio de curvas sobre una superficie y se demuestra que dicho espacio tiene estructura de biálgebra de Lie involutiva. El tercer capítulo está dedicado a definir el espacio de las palabras cíclicas V, los mapas corchete de Lie \([ \hspace{2 mm} ] : V ⊗ V \rightarrow V \) y cocorchete de Lie \(\delta: V \rightarrow V ⊗ V \). En el capítulo cuarto se establece una correspondencia entre los dos espacios anteriormente mencionados. Finalmente en el último capítulo se demuestra de forma combinatoria que el espacio de las palabras cíclicas tiene estructura de algebra de Lie y coálgebra de Lie y se muestra que existe una biyección entre el espacio de las palabras cíclicas y el espacio de curvas sobre una superficie que respeta las estructuras algebraicas mencionadas. La principal referencia bibliográfica es el artículo “ Combinatorial Lie bialgebras of curves on surfaces ” escrito por Moira Chas.
Este trabajo tiene dos objetivos: por un lado, hacer una introducción a los fibrados de Fell sobre grupos discretos, presentando la definición, ejemplos y propiedades básicas, y por otro lado, probar algunos resultados nuevos que se refieren a la promediabilidad en este contexto. \( \\ \\ \\ \) Entre los ejemplos de fibrados de Fell que presentamos, el principal de ellos es el de los fibrados de Fell asociados a acciones parciales. Es por eso que incluimos las definiciones y algunos resultados básicos concernientes a las acciones parciales y sus acciones envolventes en el caso de espacios topológicos y \(C^* \)-álgebras. Asímismo, incluimos un resultado nuevo: dada una acción parcial \( \alpha\) en una \(C^* \)-álgebra conmuntativa, con acción envolvente \( \alpha ^e \) en un espacio con unidad, si \( \phi \) es un estado invariante por \( \alpha \), existe una unica extensión a una funcional lineal positiva invariante por \( \alpha^e \). \( \\ \\ \\ \) La noción de fibrado de Fell promediable que introducimos, es una extensión de la caracterización de grupo promediable proporcionada por la propiedad de contención débil. Dado un fibrado de Fell \( \mathcal{B} \) le asociamos dos \( C^*\) -álgebras, \(C^∗ (\mathcal{B}) \) y \(C_r^∗ (\mathcal{B})\). La primera de ellas se obtiene a partir de una propiedad universal, en tanto que la segunda se obtiene a partir de una representación. Ambas están relacionadas por un morfismo sobreyectivo \(λ^† : C^∗ (\mathcal{B}) \rightarrow C_r^* (\mathcal{B})\). Decimos que \( \mathcal{B} \) es promediable si \(λ^†\) es un isomorfismo, y esta situación es ventajosa ya que \(C^∗ (\mathcal{B}) \) y \(C^r (\mathcal{B}) \) se obtienen de formas tan distintas. \( \\ \\ \\ \) Dados dos fibrados de Fell \(\mathcal{A}\) y \(\mathcal{B}\) de manera que \(\mathcal{A} ⊆ \mathcal{B} \) y se verifican otras condiciones de compatibilidad entre ellos, \(\mathcal{A} \) es promediable si y sólo si \(\mathcal{B}\) lo es (el directo de esta propiedad es un resultado de F. Abadie, y el recíıproco se prueba en este trabajo). En particular, si \( \alpha \) es una acción parcial y \( \beta \) es su acción envolvente, \( \alpha \) es promediable si y sólo si \( \beta \) lo es. Como corolario de este resultado probamos que toda representación parcial admite una dilatación unitaria. Gracias al resultado sobre extensión de estados invariantes y a la equivalencia de la promediabilidad de una acción parcial y de su acción envolvente, obtenemos una generalización de una propiedad de Zeller-Meier que relaciona la promediabilidad de un grupo con la promediabilidad de fibrados sobre el grupo obtenidos a partir de acciones.
Sistemas Polinomiales Aleatorios - Diego Armentano (2007)