Fluid Approximations for Stochastic Telecommunication Models - Laura Aspirot (2019)

Los procesos estocásticos, y en particular los procesos de Markov y las cadenas de Markov, han sido modelos matemáticos masivamente utilizados para estudiar diversos fenómenos. Por su parte las ecuaciones diferenciales también son herramientas ampliamente utilizadas en el modelado matemático. En muchas de las aplicaciones de matemática que conocemos ambos tipos de modelos y de abordajes coexisten para analizar los mismos problemas. La motivación de este trabajo surge de la existencia de estos dos tipos de acercamientos a diferentes problemas en telecomunicaciones, y la primera pregunta que planteamos es cómo se puede establecer una relación entre modelos estocásticos y determinísticos para un mismo objeto. Por otra parte, cuando existe esta relación, interesa saber qué tipo de características de uno de los modelos puede brindar información sobre el otro, así como medir, en algún sentido, qué tan exacta es esa aproximación. Para esto es necesario estudiar en qué marco podemos analizar la relación entre modelos estocásticos y determinísticos y cuáles son las herramientas y técnicas involucradas. En la literatura encontramos una amplia variedad de problemas y técnicas en este sentido, con diferentes nombres, y múltiples variantes, pero que comparten ciertas características esenciales. Así encontramos denominaciones como límites fluidos, aproximaciones tipo campo medio, límites hidrodinámicos. Estas denominaciones involucran ideas matemáticas usadas desde larga data en diferentes problemas, por ejemplo en física, biología, química, teoría de colas, teoría de juegos, que buscan simplificar modelos estocásticos complejos, planteando para ellos su aproximación determinística. Un contexto general para analizar estas relaciones se conoce como límites fluidos. Este será el objeto de estudio en este trabajo, en particular su recorte a modelos de telecomunicaciones. La finalidad es entonces aproximar modelos, con diferentes tipos de complejidades a la hora de su análisis, mediante modelos más sencillos. La dificultad para tratar los modelos estocásticos puede estar dada por las dependencias internas en el sistema, por 3 la cantidad de individuos, y pueden ser difíciles de estudiar analíticamente o incluso mediante simulaciones, ya que estas pueden ser computacionalmente muy costosas. Sin embargo estos modelos muchas veces pueden simplificarse a modelos determinísticos gobernados por ejemplo por ecuaciones diferenciales. Mediante estas aproximaciones en gran parte de los casos el comportamiento del proceso estocástico original puede analizarse a partir de características del modelo determinístico. En general estas aproximaciones de procesos estocásticos son asintóticas en algún parámetro del sistema, en muchos casos vinculado a su tamaño, y lo que se obtiene es un límite en media, en el sentido de la Ley de los Grandes Números. Entonces una de las preguntas que surge es la velocidad de convergencia. Por ese motivo, el otro tema que se aborda en esta tesis es la convergencia tipo Teorema Central del Límite, que también se denomina aproximación por difusiones. Así, un segundo objetivo es, una vez que un sistema estocástico se aproxima por uno determinístico, estudiar qué distribución tiene el error de la aproximación. En lo que sigue estudiamos tres modelos de límites fluidos motivados en problemas que aparecen en telecomunicaciones. Estos tres modelos analizados permiten ver el funcionamiento de la técnica de límites fluidos en diferentes aplicaciones, y mostrar resultados del comportamiento asintótico de los sistemas a partir del análisis de sus límites determinísticos. Este trabajo consta de tres partes, la primera dedicada al estudio de redes par a par, en particular al análisis de un modelo para el protocolo BitTorrent. Para ese modelo se estudian límites fluidos, se describe cómo se obtienen estos límites y se estudian aproximaciones Gaussianas. La segunda parte de la tesis presenta un modelo de teoría de colas de fallas y reparaciones. Para ese modelo se introducen distribuciones tipo fase, y se obtiene un límite fluido y un límite en distribución. En este caso el sistema presenta diferentes escalas de tiempo, al mismo tiempo que da lugar a un límite determinístico que es un sistema dinámico diferenciable a tramos. A nivel de distribución asintótica también encontramos l ́ımites Gaussianos y no Gaussianos. El tercer problema abordado consiste en el estudio de límites fluidos y distribución asintótica en un modelo para redes cognitivas. Aquí tenemos un sistema dinśmico diferenciable a tramos y para la distribución asintótica podemos obtener un resultado del tipo Teorema Central del Límite en algunos casos, mientras que en otros, con otro escalado, se obtiene una distribución asintótica no Gaussiana.