Some aspects of group actions on one-dimensional manifolds - Joaquín Brum (2017)

Mostramos fenómenos de flexibilidad para acciones en la recta por homeomorfismos que preservan orientación, de algunos grupos numerables. Más concretamente, mostramos que si un grupo ordenable admite una descomposición como producto amalgamado \(G =F_n∗_{\mathbb{Z}}F_m\) donde \(n + m \geq 3\), cualquier acción de \(G\) en la recta por homeomorfismos que preservan orientación puede ser aproximada por otra acciòn (sin puntos fijos globales) que no es semi-conjugada a la acción original. Deducimos que \(\mathcal{LO}(G)\), el espacio de órdenes invariantes a izquierda de \(G\), es un conjunto de Cantor. En el caso especial en que \(G = \pi_1 (\Sigma)\) es el grupo fundamental de una superficie hiperbólica cerrada, encontramos técnicas de perturbación más finas. Por ejemplo, mostramos que existe una representación cuya clase de conjugación es densa en el espacio de representaciones. Esto permite probar que el espacio de representaciones sin puntos fijos globales de \( \pi_1(\Sigma) \) en \(\textit{Homeo}_+ (\mathbb{R})\) es conexo, y también que la acción natural por conjugación de \( \pi_1(\Sigma) \) en \( \mathcal{LO}( \pi_1 (\Sigma)) \) tiene una órbita densa. Probamos que si \( \Gamma \) es un grupo numerable sin subgrupos isomorfos a \(\mathbb{Z}^2\) , cualquier acción fiel y mínimal de \( \Gamma \) en el círculo por homeomorfismos que preservan orientación, tiene una órbita libre. Damos ejemplos mostrando que esto no ocurre para acciones en la recta.