En la presente tesis estudiamos la asimetría en mercados de Lévy y la visualización de ésta por medio de un parámetro que encontramos de gran relevancia. Introducimos los modelos de Lévy asimétricos con el objetivo de estudiar la forma de la volatilidad implícita que simula la sonrisa de una cara. Por medio del parámetro introducido proponemos neutralizar el riesgo de un portafolio con respecto a este parámetro. Utilizando datos de SP&500 obtenemos una sensible reducción de la varianza de las ganancias y pérdidas con respecto al portafolio comúnmente usado. Para implementar la neutralidad de los portafolios requerimos el cálculo aproximado de ciertas derivadas, las que suelen llamarse "griegas". Obtenemos fórmulas para las griegas y en particular para opciones de compra se obtienen expresiones de cálculo rápido. Por último extendemos el marco de trabajo a procesos con incrementos independientes, donde en particular estudiamos la relación entre la asimetría estadística y la asimetría riesgo neutral con la introducción de la transformada de Esscher.
El objetivo final de este trabajo es lograr enunciar y mostrar, en el contexto de las acciones parciales, algunos de los Teoremas de Imprimitividad ya conocidos para acciones en \(C^*\)-álgebras. Con tal fin se estudian las posibles definiciones de acción propia en una \(C^*\)-álgebra para traducirlas al contexto de las acciones parciales. Los teoremas de imprimitividad para acciones parciales aquí incluidos son una generalización de los resultados de Buss y Echterhoff, y son demostrados utilizando la noción de F. Abadie de equivalencia de Morita de acciones parciales, tal como lo hacen Curto, Muhly y Williams en para las acciones globales. Para lidiar más fácilmente con los productos cruzados por acciones parciales, dedicamos una parte del trabajo a estudiar una noción de equivalencia entre fibrados de Fell que implica la equivalencia de Morita entre las \(C^*\)-álgebras seccionales. Otro punto importante de la tesis es el estudio de la globalización de acciones parciales en \(C^*\)-álgebras y en módulos de Hilbert. Damos una condición necesaria y suficiente para la existencia de una globalización, la cual usamos para estudiar cuáles de las posibles definiciones de acción parcial propia (en una \(C^*\)-álgebra) implica la existencia de una globalización.
Esta tesis versa sobre sistemas dinámicos con diversos tipos de expansividad. Consideramos homeomorfismos y flujos en espacios métricos compactos. También se considera la categoría diferenciable y algunos resultados se demuestran en variedades. Diferentes variantes de la expansividad son tomados en cuenta. En tiempo discreto: cw-expansividad, N-expansividad, hiperexpansividad. En el caso de flujos: expansividad cinemática y geométrica, expansividad positiva y expansividad robusta.
En este trabajo desarrollamos nuevas herramientas del Algebra Homológica, las llamadas funciones de Igusa-Todorov (que notaremos \(\phi \), \(\psi \)), y estudiamos la \( \phi \)-dimensión y la \( \psi \)-dimensión de estructuras algebraicas en diversos contextos (álgebras de Artin, co-álgebras semiperfectas, etc). Después de un primer capítulo con los preliminares necesarios para la comprensión del resto de la tesis, nos dedicamos en el segundo capítulo a desarrollar resultados generales de las funciones de Igusa-Todorov, los cuales son el soporte de resultados en contextos particulares que aparecerán en los capítulos siguientes. En el capítulo 3 introducimos el concepto de eslabón, que aparece lateralmente en algunos trabajos del área pero sin ser considerado como objeto central de estudio. Utilizando la caracterización para la función \( \phi \) y otras herramientas veremos en este capítulo condiciones para que la dimensión finitista sea finita y sea estrictamente menor que la \( \phi \)-dimensión dependiendo que los eslabones no sean todos simples. En el capítulo 4 trabajamos con las funciones de Igusa-Todorov para las álgebras de radical cuadrado nulo. Si \(A\) es un álgebra de radical cuadrado nulo, probamos que \(\phi dim(A) ≤ n \) y \( \psi dim(A) ≤ 2n − 3\), siendo \(n = |K_0 (A)|\). Además describimos completamente el carcaj de las álgebrascon una cantidad fija de vértices cuando \( \psi dim(A) = 2n − 3\) y también brindamos condiciones necesarias sobre el carcaj para que \( \phi dim(A) = n\). Vemos como aplicación de los resultados obtenidos que φ dim(A) = φ dim(A op ), para este tipo de álgebras. Para una álgebra \(n\)-Gorenstein \(A\), se prueba en el capítulo 5, \( \phi dim(A) = \psi dim(A) = n \). Como consecuencia del resultado anterior tenemos las siguientes igualdades: \( \phi dim(A) = \phi dim(A^{op} )\), \( \psi dim(A) = \psi dim(A^{op} )\) y obtenemos aplicaciones interesantes de estos resultados a la familia de álgebras inclinadas de conglomerado y a la familiaa de álgebras gentiles. De manera similar a la forma que lo hacemos para las álgebras de Artin, en el capítulo 6 introducimos la función de Igusa-Todorov (que notaremos \( \phi \)) y la noción de \( \phi \)-dimensión para las co-álgebras semiperfectas. Para una co-álgebra semiperfecta \(C\) probamos que la \( \phi \)-dimensión caracteriza a las co-álgebras quasi-co-Frobenius, esto es, \(C\) es qcF si y solamente si \(\phi dim(C) = 0\) Finalmente en el capítulo 7 trabajamos con la función φ en álgebras que son extensiones por escalares por un álgebra de caminos. Se verá, entre otras cosas, que la \( \phi \)-dimensión aumenta al menos por 1 cuando realizamos la extensión.
En términos muy generales, puede decirse que esta tesis es un estudio de la incorporación a la metodología estadística de algunas ideas básicas de geometría euclídea. Más concretamente, con la excepción parcial del último capítulo, la tesis gira en torno a ciertos conceptos de geometría convexa examinados desde el punto de vista estadístico. La noción de convexidad es, sin duda alguna, una de las ideas centrales en matemáticas, comparable por su importancia a conceptos como continuidad, diferenciabilidad u orden. La restricción de convexidad aplicada a conjuntos del espacio euclídeo \(R^d\) es muy intuitiva y da lugar, en varias ramas de la matemática, a resultados clásicos de gran belleza y utilidad. Su único inconveniente es el hecho de que para muchas aplicaciones resulta demasiado restrictiva. Sin embargo, de manera análoga a lo que sucede con otros conceptos matem´aticos centrales, la convexidad extiende sus dominios más allá de sí misma, en el sentido de que uno puede renunciar a la restricción estricta de convexidad manteniendo alguna de sus propiedades importantes y trabajando con ella. Este es exactamente el enfoque que se ha desarrollado en este trabajo. En las introducciones de los capítulos se pueden encontrar resúmenes más detallados del contenido y aportaciones de cada uno de ellos.
Introducimos el concepto de variedad aleatoria estacionaria con el fin de probar en forma unificada resultados sobre variedades con grupo de isometría transitivo, variedades con cociente compacto, y hojas genéricas de foliaciones compactas. Probamos desigualda- des relacionando la velocidad de escape del movimiento Browniano con la entropía y el crecimiento de volumen de dichas variedades generalizando trabajos anteriores de Avez, Kaimanovich, y Ledrappier entre otros. En la segunda parte mostramos que la función hoja de una foliación compacta es semicontinua, obteniendo como corolarios el teorema de estabilidad local de Reeb, parte del teorema de estructura local de Epstein para foliaciones por hojas compactas, y el teorema de continuidad de Álvarez y Candel.
Consideramos el problema de parada óptima que consiste en, dados un proceso de Markov fuerte \(X = \{X_t\} \) a valores en \( \mathcal{E} \), y una función de pago \(g : \mathcal{E} → \mathbb{R} \), encontrar el tiempo de parada óptima \( \tau^* \) y la función de valor \(V_{\alpha} \) que verifican: \( \begin{equation}{V_{\alpha}(x) = \mathbb{E}_x \left( e^{- \alpha \tau^*} g(X_{\tau^ ∗}) \right) = sup_{\tau} \mathbb{E}_x \left( e^{- \alpha \tau} g(X_{\tau} )\right)} \end{equation} \) , donde el supremo es tomado sobre la clase de todos los tiempos de parada, \( \alpha \) es una tasa de descuento positiva, y \(x\) es el estado del que parte el proceso. El enfoque que seguimos se basa en dos componentes: la caracterización de Dynkin de la función de valor como la mínima función \( \alpha \)-excesiva que domina \(g\); y la representación de Riesz de las funciones \( \alpha \)-excesivas en términos del núcleo de Green. La principal referencia para este enfoque es Salminen. En el contexto de las difusiones unidimensionales damos una caracterización completa de la solución, asumiendo algunas condiciones sobre \(g\). Si el problema de parada óptima es tal que la región de parada es de la forma \([x^∗,∞)\) o de la forma \((−∞, x^∗]\), damos una ecuación sencilla para encontrar el valor crítico \(x^∗\) y discutimos la validez del principio de pegado suave. También incluimos algunos ejemplos nuevos como ser la parada óptima del movimiento browniano asimétrico (skew) y del movimiento browniano pegajoso (sticky); en particular damos ejemplos en que no vale el principio de pegado suave. En el caso general, proponemos un algoritmo que encuentra la región de parada óptima cuando ésta es una unión disjunta de intervalos, dando también una fórmula sencilla para la función de valor.
Consideramos el problema de parada óptima que consiste en, dados un proceso de Markov fuerte \(X = \{X_t\} \) a valores en \( \mathcal{E} \), y una función de pago \(g : \mathcal{E} → \mathbb{R} \), encontrar el tiempo de parada óptima \( \tau^* \) y la función de valor \(V_{\alpha} \) que verifican: \( \begin{equation}{V_{\alpha}(x) = \mathbb{E}_x \left( e^{- \alpha \tau^*} g(X_{\tau^ ∗}) \right) = sup_{\tau} \mathbb{E}_x (e^{- \alpha \tau} g(X_{\tau} )} \end{equation} \) , donde el supremo es tomado sobre la clase de todos los tiempos de parada, \( \alpha \) es una tasa de descuento positiva, y \( x \) es el estado del que parte el proceso. El enfoque que seguimos se basa en dos componentes: la caracterización de Dynkin de la función de valor como la mínima función \( \alpha \)-excesiva que domina \( g \); y la representación de Riesz de las funciones \( \alpgha )α-excesivas en términos del núcleo de Green. La principal referencia para este enfoque es Salminen.
El hilo conductor de esta monografía es la Fórmula de Rice para el número de cruces de un proceso estocástico con un nivel o altura dada. Trabajamos sobre dos tipos de problemas vinculados con dicha fórmula (familia de fórmulas). Por un lado, en la primer parte de la tesis, abordamos el problema de extender la Fórmula de Rice a procesos cuyas trayectorias tengan saltos, se obtiene tal fórmula para un proceso que es la suma de dos procesos independientes: un proceso de trayectorias regulares (suaves) al cual se le pueda aplicar la versión tradicional y uno de saltos. Se dan expresiones integrales para el número medio de cruces continuos y para el número medio de cruces discontinuos (saltos) al nivel dado. Para ello es necesario aplicar técnicas distintas, unas de procesos continuos y otras de procesos puntuales. Luego, se presenta un par de ejemplos de cálculo concreto de estas fórmulas y se compara qué tipo de cruces predomina a medida que el nivel tiende a infinito. Además, en uno de estos ejemplos y en otro de un proceso puramente de saltos, se estudia la cola de la distribución del máximo cuando el nivel crece a infinito. Por otro lado, en la segunda parte de la tesis, nos dedicamos a la aplicación de la Fórmula de Rice (tradicional, es decir, para procesos suaves) para estudiar el número de raíces de polinomios aleatorios y sistemas de polinomios aleatorios. Más concretamente, en primer lugar, abordamos los Polinomios Aleatorios Trigonométricos Clásicos definidos como combinaciones lineales de cosenos con coeficientes independientes Gaussianos. Se obtiene la varianza asintótica y un Teorema Central del Límite para el número de ceros de este tipo de polinomios. En este punto, juega un rol protagónico el llamado Caos de Wiener. Finalmente, estudiamos sistemas de ecuaciones polinomiales aleatorios complejos, para ello adaptamos la Fórmula de Rice sobre variedades a este contexto. Luego, usamos estas herramientas para dar un posible camino de prueba del Teorema de Bézout sobre el número de soluciones de tales sistemas. Obtenemos la prueba en algunos casos particulares, entre ellos el Teorema Fundamental del Álgebra y los sistemas cuadrados cuadráticos (grado dos) de cualquier orden.
En esta disertación analizamos dos enfoques diferentes para el problema de resolver sistemas de ecuaciones polinomiales. En la primer parte de esta memoria analizamos la complejidad de ciertos algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones, a saber, métodos homotópicos o métodos de seguimiento de caminos. Ponemos especial atención al problema de valores propios, introduciendo un marco proyectivo para analizar este problema. El resultado principal es acotar la complejidad de caminos de homotopía en términos de la longitud del camino en la métrica de condición. También estudiaremos el problema de la complejidad del teorema de Bézout, reconsiderando el algoritmo de Smale en la luz del trabajo hecho en los últimos años. Al final de esta primera parte definimos un nuevo número de condición adaptado a perturbaciones con direcciones uniformes en un contexto general entre variedades Riemannianas, relacionándolo con los números de condición clásicos en varios ejemplos interesantes. En la segunda parte de esta memoria nos concentramos en las soluciones de sistemas de ecuaciones cuando los coeficientes de estos son tomados al azar con cierta distribuci ́n de probabilidad. Empezaremos dando una breve reseña sobre la fórmula de Rice para campos aleatorios. Repasaremos algunos resultados recientes relacionados al número esperado de raíces reales de un sistema de ecuaciones polinomiales. También repasaremos, dando nuevas pruebas, algunos resultados conocidos relacionados al caso indeterminado, es decir, cuando el sistema de ecuaciones aleatorias tiene más variables que ecuaciones. También estudiaremos sistemas polinomiales aleatorios complejos. Introduciremos las técnicas de Rice en la teoría de campos aleatorios complejos. En particular, daremos un enfoque probabilista al teorema de Bézout usando las fórmulas de Rice. En el final de esta segunda parte consideramos el siguiente problema: ¿cómo están distribuidas las raíces de polinomios complejos aleatorios? Probaremos que puntos en la esfera asociados a raíces de polinomios complejos aleatorios están sorprendentemente bien distribuídos con respecto al mínimo de la energía logaritmica sobre la esfera. Esto es, raíces de polinomios aleatorios brindan una muy buena aproximación de los puntos de Fekete elípticos.
Esta tesis pretende contribuir al estudio de la dinámica diferenciable tanto desde sus aspectos semilocales como globales. El estudio se centra en dinámicas diferenciables en variedades de dimensión 3. Se busca comprender por un lado la existencia y estructura de los atractores así como propiedades topológicas y dinámicas implicadas por la existencia de una descomposición parcialmente hiperbólica global. Las contribuciones principales son la construcción de nuevos ejemplos de dinámicas sin atractores donde se da una descripción bastante completa de la dinámica alrededor de una clase homoclínica salvaje y dos resultados sobre la coherencia dinámica de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos en \( \mathbb{T}^3 \).
Modelos asimétricos de Lévy en Finanzas - Federico De Olivera (2016)