Bentancur Leandro, Mag.

Buenas!

Me encuentro inmerso la geometría algebraica aplicada, más específicamente donde la geometría algebraica real converge con la teoría de la optimización. Es un espacio donde las estructuras teóricas de las construcciones geométricas y algebraicas se encuentran sin problemas con distintas aplicaciones. En 2024, completé mi Maestría en Matemáticas en la Universidad de la República (Uruguay), bajo la orientación de Álvaro Rittatore. Mi tesis se adentró en el mundo de la geometría algebraica y la teoría de invariantes, explorando específicamente la teoría de representaciones de las extensiones afines de variedades abelianas. Actualmente, estoy comenzando mi trayectoria doctoral bajo la orientación de Mauricio Velasco, también en la Universidad de la República. Mi proyecto de doctorado gira en torno a las jerarquías poliédricas para la optimización polinómica en variedades homogéneas.

Desde 2016, he tenido el privilegio de servir como docente en la Universidad de la República, donde me he esforzado no sólo en explorar junto con las y los estudiantes nuevos conocimientos, sino también en despertar la curiosidad y el asombro matemático.

Más allá de lo puramente matemático, me genera un gran interés la divulgación del conocimiento científico. Creo que al inculcar un interés por las matemáticas y la ciencia y promover la cultura científica en su expresión más profunda, empoderamos a las personas para tomar decisiones informadas, ser más libres y tener una sociedad más desarrollada. Esta convicción me ha llevado a querer formarme en comunicación de la ciencia y la tecnología, para adquirir herramientas para comunicar la belleza y la relevancia de las matemáticas a audiencias diversas.

Fuera de la academia tengo intereses diversos. Disfruto leyendo historias cautivantes (e intentando escribir alguna), andar por ahí en mi bicicleta, o hincho (y sufro) por Nacional.

Si estás interesado en contactarme sobre cualquier tema, no dudes en hacerlo, si puedo colaborar contigo en algo buscaré la forma de hacerlo.

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Investigación

Mis áreas de interés son las siguientes:

Jerarquías poliedrales para optimización polinomial en espacios homogéneos

El estudio de la no-negatividad de polinomios y su relación con la suma de cuadrados es una temática clásica en la geometría algebraica. Esta área cambió a comienzos de los 2000, principalmente con los aportes de Lasserre y Parrilo, a partir del uso de programación semidefinida para la búsqueda de certificados de no-negatividad que permitió dar una solución efectiva y eficiente a problemas de optimización polinomial. Para esto se construyen jerarquías dadas por suma de cuadrados de polinomios de grados crecientes para aproximar el conjunto de polinomios no-negativos y se utiliza la teoría de representaciones para describir los invariantes de acciones sobre estos espacios.

En un artículo reciente, Cristancho y Velasco construyen nuevas jerarquías poliedrales para la aproximación del cono de polinomios no-negativos en la esfera unidad de dimensión arbitraria, y además, se prueban cotas computables para la velocidad de convergencia de este método.

En mi proyecto de doctorado, financiado por la Comisión Académica de Posgrado, nos proponemos construir jerarquías poliedrales convergentes al cono de polinomios positivos en la variedad Grasmanniana en primer caso, y luego en variedades algebraicas homogéneas en general. Para esto se buscará construir reglas de cuadratura en la variedad y estudiar la descomposición en invariantes del anillo de polinomios dada por la acción del grupo ortogonal.

Problema de Fekete

El problema de Fekete consiste en dado un número natural N, encontrar x_1,...,x_N puntos en la 2-esfera que maximicen el producto de sus distancias, es decir, buscar configuraciones de puntos en la esfera que estén lo más alejados entre sí. Esto se puede reescribir fácilmente como el problema de maximizar la energía logarítmica de una configuración, que es la suma de los logaritmos de las distancias entre todos los pares de puntos. El problema número 7 de Smale en su lista de problemas para el siglo XXI, consiste en construir configuraciones de puntos cuya energía logarítmica diste a menos de algo de orden log(N) del valor mínimo de la energía logarítmica, esto es, el valor en las configuraciones de puntos que son solución al problema. Concretamente se conoce solución al problema sólo para N=2,3,4,5,6 y 12. Este problema se encuentra realmente abierto, presentando diversas preguntas relacionadas, como encontrar soluciones exactas para cantidades de puntos bajas, construir configuraciones de puntos con baja energía, mejorar las estimaciones asintóticas del valor de la energía, probar la abundancia de puntos críticos, entre otros.

Junto con Diego Armentano, Federico Carrasco, Marcelo Fiori, Pedro Raigorodsky, Matías Valdés y Mauricio Velasco nos encontramos trabajando en algunos aspectos de este problema. Al escribir las ecuaciones que deben verificar los puntos críticos del problema, que son las de igualar el lagrangeano a cero, las restricciones de que los puntos pertenezcan a la esfera y que no sean iguales entre sí, nos encontramos con que los puntos críticos son una variedad algebraica. A partir de esto podemos trabajar sobre el ideal generado por estas ecuaciones, utilizando herramientas de geometría algebraica computacional como bases de Grobner, para poder contar la cantidad de puntos críticos y clasificarlos para algunos N bajos.

Teoría de representaciones de extensiones afines de variedades abelianas

El objetivo de mi tesis de maestría fue presentar las propiedades básicas de la teorı́a de representaciones para las extensiones afines de una variedad abeliana. Esta teorı́a se presenta como una generalización de la teorı́a de representaciones de los esquemas en grupos afines. Una extensión afı́n S de una variedad abeliana A por un esquema en grupos afı́n H es una su cesión exacta corta de esquemas en grupos 1 → H → G → A → 0. Una representación de S es una acción de G sobre un fibrado vectorial homogéneo E sobre A tal que si q(g) = a, entonces la acción por g lleva la fibra sobre b a la fibra sobre a+b, de modo que el morfismo correspondiente es una transformación lineal. En la tesis presentamos la construcción de esta teorı́a de representaciones de S y la prueba de un teorema del tipo “dualidad de Tannaka” desarrollada recientemente por Rittatore, del Ángel y Ferrer. Allí estudiamos propiedades básicas de esta teorı́a, como ser la caracterización de la semisimplicidad y del caso unipotente, obteniendo resultados que vinculan estos casos con la teorı́a de representaciones clásica para el caso afı́n.

Enseñanza

2016 - Actualidad - Facultad de Ciencias, Udelar

Machine Learning (2024)

Probabilidad (2024)

Matemáticas II (para biogeociencias) (2023)

Matemáticas Discretas (2021)

Tópicos de Geometría (2020)

Matemática Discreta (2020)

Funciones de Variable Compleja (2019)

Grupos y Teoría de Galois (2019)

Tópicos de Geometría (2018)

Álgebra Lineal I (2018)

Tópicos de Geometría (2016)

2018 - 2023 - Facultad de Ingeniería, Udelar

Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables (2023)

Matemáticas Discreta (2023)

Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables (2022)

Geometría y Álgebra Lineal I (2022)

Geometría y Álgebra Lineal II (2020)

Geometría y Álgebra Lineal I (2020)

Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables (2020)

Cálculo Diferencial e Integral en Una Variable (2019)

Geometría y Álgebra Lineal I (2019)

Conferencias (recientes o próximas)

Algunos eventos académicos a los que asistí recientemente o planeo asistir son:

Segunda Escuela de CICADA "Grafopalooza: explorando redes complejas y sus aplicaciones", Octubre de 2024, Maldonado, Uruguay

III Encuentro de Estudiantes de Matemática, Agosto de 2024, Montevideo, Uruguay

VIII Encuentro Colombiano de Combinatoria (ECCO2024), Junio de 2024, Popayán, Colombia

From Dynamics to Complexity and Back Again, In Celebration of Michael Shub 80's Birthday, Febrero de 2024, Montevideo, Uruguay