Funciones Cuasiconformes y teoría de Teichmuller
Organizadores: Juan Alonso juan@cmat.edu.uy, Sébastien Alvarez salvarez@cmat.edu.uy
Descripción del seminario:
Los homeomorfismos cuasiconformes juegan un papel central en la teoría de las superficies de Riemann, es decir, las superficies con estructura analítica compleja (llamada también estructura conforme). Dichos homeos corresponden a las posibles deformaciones de una estructura conforme, dando una descripción del Espacio de Teichmuller de una superficie (que puede verse como el conjunto de estructuras conformes "esencialmente distintas" que soporta una superficie). Este enfoque tiene aplicaciones importantes a la dinámica compleja y a la topología de 3-variedades.Un homeo cuasiconforme es solución de una "ecuación diferencial" (en el sentido de distribuciones) llamada Ecuación de Beltrami, que depende de un coeficiente (una función medible acotada). Nos enfocaremos a la resolución de esta ecuación (Teo. de Ahlfors-Bers), que nos dará existencia de soluciones en condiciones muy generales, así como ciertos criterios de unicidad y regularidad respecto al coeficiente. Luego, dependiendo del tiempo y el interés de los participantes, veremos aplicaciones y temas relacionados, como pueden ser: Deformación de estructuras conformes y Teorema de Sullivan para mapas racionales, u homeos cuasisimétricos, cuasicírculos y construcción de grupos cuasi-Fuchsianos (uniformización simultanea).
Temario central:
1- Difeomorfismos cuasiconformes: Introducción a la ecuación de Beltrami y su significado geométrico. Definición de cuasiconforme en el caso diferenciable. Necesidad de generalizar a homeos.
2- Herramientas de análisis funcional: Introducción breve a distribuciones, espacios de Sobolev, convoluciones y transformada de Fourier.
3- Homeos cuasiconformes: Definiciones clásicas de mapas K-cuasiconformes y su equivalencia. Lema de Weyl: un mapa 1-cuasiconforme es holomorfo.
4- Módulo y equicontinuidad: Teorema de Grötzcsh sobre la distorsión del módulo de un anillo por un homeo cuasiconforme. Compacidad del espacio de mapas K-cuasiconformes.
5- Teorema de Ahlfors-Bers: Solución de la ecuación de Beltrami y regularidad respecto al coeficiente.
Temas opcionales:
6- Homeos Cuasisimétricos: Caracterización geométrica de los mapas cuasiconformes. Cuasicírculos. Deformación de grupos Fuchsianos y construcción de representaciones cuasi-Fuchsianas.
7- Estructuras conformes y Teorema de Sullivan: Construcción de la deformación de una estructura conforme respecto a un coeficiente de Beltrami. Introducción al Espacio de Teichmuller. Teorema de Sullivan: un mapa recional no tiene componentes errantes de su conjunto de Fatou.
Bibliografía principal:
J. Hubbard. Teichmuller theory V1.
A. Douady. Le theoreme d'integrabilite des structures presque complexes. (The Mandelbrot set: Theme and variations, Ed: Tan Lei).
J. Milnor. Dynamics in one complex variable.
E. Stein, R. Shakarchi. Functional Analysis.
Bibliografía complementaria:
L. Ahlfors. Lectures on Quasiconformal mappings.
Y. Imayoshi, M. Taniguchi. An introduction to Teichmuller spaces.