Seminario de estudiantes

En esta charla introduciremos los conceptos necesarios para en un futuro poder escuchar a alguien sobre geometría algebraica (como quién les habla). Definiremos la topología de Zariski de k^n y estudiaremos tres ejemplos que nos harán ver que la topología no es suficiente para distinguir los objetos tanto como queremos. Luego, enunciaremos el teorema de los ceros de Hilbert para hacer una correspondencia y ver las variedades algebraicas y la topología de Zariski de manera intrínseca y algebraica.

El genoma humano consiste en más de tres mil millones de pares de bases
(sitios en el ADN), lo que convierte a la alta dimensionalidad en uno de
los mayores desafíos de la genética de poblaciones actual.

Herramientas como el *análisis de componentes principales* (PCA) y métodos
no lineales como  *t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding*
(t-SNE) y *Uniform
Manifold Approximation and Projection* (UMAP) son habitualmente utilizados
para reducir la dimensión de los datos, visualizar la variación genética y
hacer inferencia sobre la estructura de las poblaciones.

Sin embargo, estos métodos tienen dificultades en la conservación de
estructuras locales y globales presentes en el espacio original, lo que
obstaculiza el análisis y muchas veces lleva a conclusiones erróneas.

En esta charla presentaré un trabajo en curso en el marco de mi tesis de
maestría, que consiste en el desarrollo de un método basado en grafos para
el análisis y visualización de datos genómicos. La construcción del grafo
se basa en la distancia de Fermat, y su posterior embedding (representación
en un espacio vectorial de dimensión dos) es realizado a partir de una red
neuronal llamada *Node2vec*.

Este enfoque pretende reducir la dimensión de los datos, minimizando la
distorsión de estructuras locales y globales, y con particular interés en
la correcta representación de individuos mezclados.

Según la leyenda del Senbazuru se concede un deseo a quien haga mil grullas de papel. De hecho, Senbazuru significa literalmente 'mil grullas'. Hay quienes desean salud, amor, dinero... pero yo lo que deseo es encontrar raíces de polinomios de grado 3.
En esta charla veremos que no es necesario plegar 1000 papeles para satisfacer este deseo pues con plegar uno solo ya es suficiente.

Veremos una forma de asignarle a un grupo una estructura geométrica (a gran escala): Dado un grupo y un conjunto generador finito, se construye el
grafo de Cayley del grupo y en este grafo tenemos una distancia. Hablaremos de la propiedad de delta-hiperbolicidad de un espacio, y cómo esta noción geométrica se relaciona con propiedades algebraicas del grupo.

En esta charla vamos a trabajar con curvas algebráicas en los complejos. A base de ejemplos veremos algunas propiedades interesantes que cumplen y como compactificarlas agregando "puntos al infinito".

En lo que reste de la charla, probaremos (con un poco de movimiento de manos) que la curva algebráica a un polinomio particular es homeomorfa al toro.

Primero que nada (por si a alguien le intimida un poco el título) la charla está dirigida a todo estudiante de la licenciatura. La primera
mitad va a usar solamente el principio del palomar (aunque de forma bastante ingeniosa). En todo conjunto formado por seis personas, necesariamente hay tres que se conocen dos a dos o tres que dos a dos no se conocen. Esto se puede formular como una propiedad de  grafos. Vamos a comenzar dando una prueba de esto y luego a generalizarlo para grafos infinitos. 

Luego, veremos qué es un cardinal inaccesible (sin asumir conocimientos previos de lógica) y veremos cómo las propiedades combinatorias de grafos infinitos dan lugar al concepto de cardinal débilmente compacto, un tipo de
cardinal inaccesible muy grande.

Los números primos son, en cierto sentido, los átomos de los enteros. ¿Cuántos números primos hay?  Resulta que infinitos. En esta charla veremos diferentes demostraciones de este hecho; comenzando por la clásica debida a Euclides, para luego ver otras que involucran álgebra, análisis, e incluso topología! En el camino posiblemente nos encontremos con objetos interesantes, y no tendremos más remedio que detenernos a contemplar el paisaje.