Contando Geodésicas cerradas simples en superficies

Como seguro habrán escuchado en algún pasillo, el flujo geodésico en superficies hiperbólicas es Anosov. En particular, podemos esperar abundantes geodésicas cerradas. Una forma de cuantificar esto es ver como crecen las geodésicas cerradas de longitud < L. En esta dirección, Hubbard y Selberg prueban que esta cantidad es asintótica a e^L/2L.
En esta charla no hablaremos de eso, sino de una pregunta hermana. ¿Qué pasa si remplazamos geodésicas cerradas por geodésicas cerradas simples? (es decir, que no se autocortan). Esta pregunta resulta ser mucho más sutil, y fue una de las contribuciones de Mirzakhani en su tesis de doctorado. Incluso responder esta pregunta en el toro es interesante, ya que nos dice como crece (asintóticamente) la cantidad de (n,m) coprimos en Z^2 dentro de una bola B(0,L) en R^2. En orden creciente de ambición, el plan sería:

1. Contarles el resultado asintótico en el caso del toro (~L^2) .

2. Bosquejar como podemos arreglar la prueba para superficies hiperbólicas (~ L^{6g-6}) .

3. Contar las contribuciones de Mizakhani.

Aprovecho para hacerle propaganda al survey “Counting problems from the viewpoint of Ergodic Theory” de Francisco Arana-Herrera. Me voy a basar fuertemente en esas notas.