Seminario de Álgebra del IMERL

No siempre es posible construir tales resoluciones, pero hay módulos para los cuales se pueden obtener resoluciones truncadas por proyectivos finitamente generados. Más precisamente, tenemos los módulos de tipo FP, concepto que se debe probablemente al grupo Bourbaki. Éstos se definen como aquellos módulos  para los cuales existe una sucesión exacta (resolución truncada) de la forma  donde cada  es proyectivo y finitamente generado. Por otro lado, asociados a esta clase de módulos, están los anillos $n$-coherentes (generalizaciones de los noetherianos y los coherentes), que se definen como aquéllos sobre los cuales para todo módulo de tipo FP se puede construir una resolución por proyectivos finitamente generados. Sin embargo, a diferencia de los anillos noetherianos y coherentes, se desconoce si los anillos -coherentes se pueden caracterizar en términos de ideales. Más precisamente, Dobbs, Kabbaj y Mahdou en 1997 hacen la pregunta de si la  -coherencia de un anillo es equivalente a que todo ideal de tipo FP sea de tipo FP. Esta pregunta representa un problema abierto a día de hoy, al cual nos referiremos como la conjetura de la -coherencia.

El propósito de esta charla es presentar algo de álgebra homológica en torno a esta conjetura, más precisamente, nuestro interés estará en las clases de módulos inyectivos y planos relativos a cocientes , donde  es un anillo e  es un ideal de tipo FP. 

Esto es un trabajo conjunto y en desarrollo con Rafael Parra.

En esta charla presentaré la cohomología  $\tau$-Hochschild en grado 1 de una k-álgebra asociativa de dimensión finita, donde  k es un cuerpo. El exceso de $A$ es la diferencia entre las dimensiones del $\tau$-cohomología de Hochschild en grado uno y la dimensión de
la cohomología habitual de Hochschild en grado uno.
Uno de los principales resultados es que para un álgebra $kQ/I$ con $Q$ un 
carcaj finito e $I$ un ideal admisible cuyo exceso es cero, la cohomología de 
Hochschild en grado dos $HH^2(A)$ es isomorfa al espacio $\Hom_{kQ-kQ}(I/I^2, A)$. 
Esto puede ser útil para determinar cuándo $HH^2(A)=0$ para estas álgebras.
Calculamos el exceso para álgebras hereditarias, álgebras de radical cuadrado cero y álgebras monomiales triangulares.
Para un álgebra de carcaj ligada $A-kQ/I$, obtuvimos una fórmula para el
exceso. 
(trabajo conjunto con Claude Cibils, Marcelo Lanzilotta y Eduardo Marcos)

 El álgebra homológica superior fue introducida por Iyama cuando definió y dió las propiedades básicas de las subcatategorías ortogonales maximales dentro de las categorías de módulos de un álgebra. En ese mismo artículo, Iyama construye recursivamente una familia de álgebras con subcategorías ortogonales maximales, las cuales se conocen hoy en día con el nombre de álgebras de Auslander superiores. Unos años más tarde Jørgnesen introdujo la noción de clases de torsión superior dentro de las subcategorías ortogonales maximales y muy recientemente han habido importantes avances en su entendimiento. 

En esta charla vamos a comenzar definiendo las subcategorías ortogonales maximales. Luego vamos a definir las álgebras de Auslander superiores y explicar cómo se pueden entender sus subcategorías ortogonales maximales de forma completamente combinatoria. Luego daremos las definiciones y propiedades básicas de las clases de torsión superior y las traducimos al lenguaje combinatorio para las álgebras de Auslander superior. Terminaremos nuestra charla explorando algo de la numerología que surge al contar las clases de torsión superior para estas álgebras. 

Esta charla se basa en una colaboración en curso junto a J. August, J. Haugland, K. Jacobsen, S. Kvamme y Y. Palu.

En un trabajo en preparación y en colaboración con Emanuel Rodríguez Cirone estamos estudiando estructuras homotópicas en la k-teoría bivariante algebraica. 

Con el objetivo de realizar una charla autocontenida, empezaré hablando de las homotopías algebraicas en las álgebras asociativas, las diferencias y similitudes con la homotopía de espacios. Definiré la categoría kk y sus propiedades. 

Una estructura categórica para estudiar teoría de homotopía abstracta es la categoría de modelos introducida por Quillen.  En esta estructura tenemos una clase de morfismos que representan las “suryecciones buenas” (FIBRACIONES), otra clase de morfismos que representan las “inyecciones buenas” (COFIBRACIONES) y una tercera clase de morfismos que representan las equivalencias (EQUIVALENCIAS).  Estas clases deben satisfacer ciertos axiomas.

Una estructura más débil pero que mantiene herramientas para hacer teoría de homotopía es la estructura de categoría de objetos fibrantes definida por Brown. En esta última se tienen fibraciones y equivalencias pero no cofibraciones. 

El objetivo de la charla es probar que la categoría de álgebras, con morfismos sobreyectivos con una sección lineal y las  kk-equivalencias forman una categoría de objetos fibrantes. 

Mostraré además que si consideramos equivalencias homotópicas en lugar de kk-equivalencias no tenemos una categoría de objetos fibrantes. 

El resultado principal de nuestro trabajo es la construcción de una infinito categoría estable cuya categoría de homotopía es la categoría kk.  De este último resultado no daré detalles. 

Seminario de Álgebra del IMERL

Contexto: Álgebras de Artin.

Se ofrecerán los conceptos y resultados necesarios para preparar  una segunda charla, que será presentada por Marcos Barrios, donde se mostrarán resultados nuevos de un trabajo en elaboración en común con M. Barrios y G. Mata.

En esta oportunidad hablaré sobre un trabajo conjunto con Janina Letz, Amrei Oswald y Andrea Solotar.

La cohomología de Hochschild de un álgebra asociativa sobre un cuerpo k tiene estructura de k-álgebra conmutativa graduada con el producto cup. Se probó que dicha estructura es cero  en grados positivos para las álgebras string cuadráticas  triangulares [Bustamante 2006] y las string triangulares [Redondo-Roman 2014] entre otras. En este trabajo generalizamos dichos resultados probando que las álgebras monomiales triangulares tienen siempre producto cup cero en grados positivos. Para esto describimos el mapa diagonal asociado a la resolución de Bardzell dando una forma de calcular el producto cup para cualquier álgebra monomial.

Dada un álgebra A, un automorfismo alfa y una alfa-derivación delta en A, una "extensión de Ore" de A es una nueva álgebra T, que como espacio vectorial son los polinomios con coeficientes en A, pero con la conmutatividad del producto "torcida" por delta y alfa. Cuando delta es cero, se dice que T es un "skew polynomial ring" y cuando alfa es la identidad, se dice que T es un "differential polynomial ring" o una "extensión diferencial de A". Un caso particular de esta última construcción es el álgebra de Weyl. En general, las extensiones de Ore son una importante fuente de ejemplos en álgebra no conmutativa.

El objetivo de esta charla es introducirnos en el estudio de las derivaciones en extensiones diferenciales. Para lo anterior, presentaremos primero las extensiones diferenciales y luego estudiaremos sus derivaciones. Terminaremos concentrándonos en las extensiones del álgebra de polinomios, en cuyo caso abordaremos el cálculo de la cohomología de Hochschild en grado 1. Este es un trabajo en conjunto con Iván Pan.