Seminario de Álgebra del IMERL

Se conoce que los equipments, un tipo especial de categorías dobles, proveen un contexto útil donde expresar la teoría de categorías formal. En esta charla presentamos una estructura modelo en la categoría de categorías dobles y functores dobles cuyos objetos fibrantes son precisamente los equipments. Luego usamos ésta, en conjunción con la teoría de FOLDS (First Order Logic with Dependent Sorts) de Makkai y la reciente conexión entre categorías modelo y lenguajes formales de Henry, para probar un resultado de invariancia bajo equivalencia de la teoría de categorías formal.

La realizabilidad clásica adapta estos principios a la lógica clásica, basándose en instrucciones de control. La parte computacional se basa en la dualidad entre programas (pruebas) y entornos (contrapruebas). La estructura algebraica que subyace a los valores de verdad de la realizabilidad clásica es un tipo particular de álgebra combinatoria ordenada (OCA) inducida por los lenguajes de términos y pilas. 

En una serie de trabajos que involucran a investigadores del IMERL se prueba que tanto la Realizabilidad Intuicionista como la clásica son posibles de definir en OCAs de modo que tanto los valores de verdad como los realizadores pertenecen al conjunto subyacente de estas estructuras y el orden parcial subsume el subtipado, la reducción de términos y la relación de realizabilidad. Todos estos trabajos abogan por fundamentos de realizabilidad que buscan transformar una definición bastante compleja y operativa en una mucho más simple y algebraica.

El estudio de la Realizabilidad para sistemas concurrentes fue iniciado por Beffara en su tesis de doctorado. El lenguaje de realizadores viene dado por una variante de $\pi$-cálculo, que es a la programación concurrente lo que el $\lambda$-cálculo a la programación secuencial. Tal como en la Realizabilidad Intuicionista o Clásica, los valores de verdad en esta presentación son conjuntos de $\pi$-términos. En un reciente trabajo, basándose en las estructuras conjuntivas de Miquey, presentamos una estructura algebraica que permite interpretar tanto a los $\pi$-términos como a las fórmulas matemáticas.  

En esta charla intentaremos mostrar una panorámica de las motivaciones y los diferentes contextos en los que estas estructuras aparecen.

Abstract: Modular categories are intricate organizing algebraic structures appearing in a variety of mathematical subjects including topological quantum field theory, conformal field theory, representation theory of quantum groups, von Neumann algebras, and vertex operator algebras. They are fusion categories with additional braiding and pivotal structures satisfying a non-degeneracy condition. The problem of classifying modular categories is motivated by applications to topological quantum computation as algebraic models for topological phases of matter.

In this talk, we will start by introducing some of the basic definitions and properties of fusion, braided, and modular categories, and we will also give some concrete examples to have a better understanding of their structures. I will give a short overview of the current situation of the classification program for modular categories and focus on recent results on the classification of modular categories of Frobenius-Perron dimension not divisible by 4. This talk is based on joint projects with A. Chakravarthy, A. Czenky, and W. Gvozdjak. 

La noción de álgebra B$_{\infty}$ fue introducida por H. Baues en [2] para estudiar la bar construcción en espacios de lazos dobles.

 Una álgebra B$_{\infty}$ es un espacio vectorial V con una estructura de bialgebra diferencial en la coalgebra cotensorial T^{c}(V), donde el coproducto está dado por la deconcatenación. El producto determina una estructura multibrace en V, y el diferencial define una estructura A$_{\infty}$ , que deben ser compatibles entre sí.

En este trabajo, mostramos que para toda álgebra B$_{\infty}$V , es posible construir una bialgebra diferencial con un producto adicional, tal que su parte primitiva sea precisamente V. Este resultado permite calcular las álgebras B$_{\infty}$  libres.

Como ejemplo, definimos una bialgebra en el espacio vectorial generado por los guillotine floorplans (ver [1]), cuya parte primitiva es libre como álgebra multibrace, pero no como álgebra diferencial.

Los resultados para el caso no-diferencial están detallados en [3]. El resto de este trabajo ha sido realizado en colaboración con I. Gálvez-Carrillo y A. Tonks, parte del cual se encuentra en [3].

Junto con Assaf, Ladd, Tornaría y Voight, calculamos bases de datos de formas paramodulares para pesos (k, j) = (3, 0), (4, 0), (3, 2) y niveles menores a 1000. Buscamos nuevas congruencias de tipo Harder y de tipo Buzzard-Golyshev. Presentaremos nuevos ejemplos de estas congruencias y proporcionaremos pruebas para algunas de ellas.

Normal elements were defined, and their existence proved, more than
150 years ago. However, due to their many applications, they have
been vastly studied in the last 30 years. On the other hand, k-normal
elements that generalize normal elements were only introduced a few
years ago.
First we briefly give an account of basic properties and results on
normal elements including existence and number of normal elements.
We briefly focus on how to operate with normal basis, and we discuss
how to find normal elements. It turns out that not all normal elements
behave in the same way, the optimal normal elements being
preferable. These special elements are directly related to Gauss periods
in finite fields. Since optimal normal elements only exist on some
extension fields, the study of low complexity normal elements is
relevant.
Then, we define k-normal elements and survey their main properties.
We comment on their existence and number, as well as on the
existence of elements that are k-normal and primitive at the same time.
We conclude giving some open problems.

El álgebra homológica de Gorenstein es la versión relativa del álgebra homológica que sustituye las resoluciones proyectivas clásicas por las Gorenstein proyectivas. Pero mientras que en el álgebra homológica clásica la existencia de las resoluciones proyectivas sobre anillos arbitrarios es bien conocida, las cosas son un poco diferentes cuando se trata del álgebra homológica  Gorenstein. La pregunta: "¿Cuál es la clase más general de anillos sobre los que todos los módulos tienen resoluciones Gorenstein proyectivas?" sigue abierta. La situación no es muy diferente cuando tratamos los objetos (X, Y)-Gorenstein proyectivos relativos en Mod(R), denotado GP(X,Y).

En esta charla abordaremos esta última situación y veremos varios casos en los que se consigue que la clase GP(X,Y) es precubriente especial en Mod(R).

Abordamos también un reciente resultado de Moradifar y Saroch que establece una relación entre el hecho que GP^ \cap mod(R) es precubriente (los módulos finitamente generados de dimensión Gorenstein proyectiva finita) con la segunda conjetura finitista.

No siempre es posible construir tales resoluciones, pero hay módulos para los cuales se pueden obtener resoluciones truncadas por proyectivos finitamente generados. Más precisamente, tenemos los módulos de tipo FP, concepto que se debe probablemente al grupo Bourbaki. Éstos se definen como aquellos módulos  para los cuales existe una sucesión exacta (resolución truncada) de la forma  donde cada  es proyectivo y finitamente generado. Por otro lado, asociados a esta clase de módulos, están los anillos $n$-coherentes (generalizaciones de los noetherianos y los coherentes), que se definen como aquéllos sobre los cuales para todo módulo de tipo FP se puede construir una resolución por proyectivos finitamente generados. Sin embargo, a diferencia de los anillos noetherianos y coherentes, se desconoce si los anillos -coherentes se pueden caracterizar en términos de ideales. Más precisamente, Dobbs, Kabbaj y Mahdou en 1997 hacen la pregunta de si la  -coherencia de un anillo es equivalente a que todo ideal de tipo FP sea de tipo FP. Esta pregunta representa un problema abierto a día de hoy, al cual nos referiremos como la conjetura de la -coherencia.

El propósito de esta charla es presentar algo de álgebra homológica en torno a esta conjetura, más precisamente, nuestro interés estará en las clases de módulos inyectivos y planos relativos a cocientes , donde  es un anillo e  es un ideal de tipo FP. 

Esto es un trabajo conjunto y en desarrollo con Rafael Parra.

En esta charla presentaré la cohomología  $\tau$-Hochschild en grado 1 de una k-álgebra asociativa de dimensión finita, donde  k es un cuerpo. El exceso de $A$ es la diferencia entre las dimensiones del $\tau$-cohomología de Hochschild en grado uno y la dimensión de
la cohomología habitual de Hochschild en grado uno.
Uno de los principales resultados es que para un álgebra $kQ/I$ con $Q$ un 
carcaj finito e $I$ un ideal admisible cuyo exceso es cero, la cohomología de 
Hochschild en grado dos $HH^2(A)$ es isomorfa al espacio $\Hom_{kQ-kQ}(I/I^2, A)$. 
Esto puede ser útil para determinar cuándo $HH^2(A)=0$ para estas álgebras.
Calculamos el exceso para álgebras hereditarias, álgebras de radical cuadrado cero y álgebras monomiales triangulares.
Para un álgebra de carcaj ligada $A-kQ/I$, obtuvimos una fórmula para el
exceso. 
(trabajo conjunto con Claude Cibils, Marcelo Lanzilotta y Eduardo Marcos)

 El álgebra homológica superior fue introducida por Iyama cuando definió y dió las propiedades básicas de las subcatategorías ortogonales maximales dentro de las categorías de módulos de un álgebra. En ese mismo artículo, Iyama construye recursivamente una familia de álgebras con subcategorías ortogonales maximales, las cuales se conocen hoy en día con el nombre de álgebras de Auslander superiores. Unos años más tarde Jørgnesen introdujo la noción de clases de torsión superior dentro de las subcategorías ortogonales maximales y muy recientemente han habido importantes avances en su entendimiento. 

En esta charla vamos a comenzar definiendo las subcategorías ortogonales maximales. Luego vamos a definir las álgebras de Auslander superiores y explicar cómo se pueden entender sus subcategorías ortogonales maximales de forma completamente combinatoria. Luego daremos las definiciones y propiedades básicas de las clases de torsión superior y las traducimos al lenguaje combinatorio para las álgebras de Auslander superior. Terminaremos nuestra charla explorando algo de la numerología que surge al contar las clases de torsión superior para estas álgebras. 

Esta charla se basa en una colaboración en curso junto a J. August, J. Haugland, K. Jacobsen, S. Kvamme y Y. Palu.

En un trabajo en preparación y en colaboración con Emanuel Rodríguez Cirone estamos estudiando estructuras homotópicas en la k-teoría bivariante algebraica. 

Con el objetivo de realizar una charla autocontenida, empezaré hablando de las homotopías algebraicas en las álgebras asociativas, las diferencias y similitudes con la homotopía de espacios. Definiré la categoría kk y sus propiedades. 

Una estructura categórica para estudiar teoría de homotopía abstracta es la categoría de modelos introducida por Quillen.  En esta estructura tenemos una clase de morfismos que representan las “suryecciones buenas” (FIBRACIONES), otra clase de morfismos que representan las “inyecciones buenas” (COFIBRACIONES) y una tercera clase de morfismos que representan las equivalencias (EQUIVALENCIAS).  Estas clases deben satisfacer ciertos axiomas.

Una estructura más débil pero que mantiene herramientas para hacer teoría de homotopía es la estructura de categoría de objetos fibrantes definida por Brown. En esta última se tienen fibraciones y equivalencias pero no cofibraciones. 

El objetivo de la charla es probar que la categoría de álgebras, con morfismos sobreyectivos con una sección lineal y las  kk-equivalencias forman una categoría de objetos fibrantes. 

Mostraré además que si consideramos equivalencias homotópicas en lugar de kk-equivalencias no tenemos una categoría de objetos fibrantes. 

El resultado principal de nuestro trabajo es la construcción de una infinito categoría estable cuya categoría de homotopía es la categoría kk.  De este último resultado no daré detalles. 

Seminario de Álgebra del IMERL

Contexto: Álgebras de Artin.

Se ofrecerán los conceptos y resultados necesarios para preparar  una segunda charla, que será presentada por Marcos Barrios, donde se mostrarán resultados nuevos de un trabajo en elaboración en común con M. Barrios y G. Mata.

En esta oportunidad hablaré sobre un trabajo conjunto con Janina Letz, Amrei Oswald y Andrea Solotar.

La cohomología de Hochschild de un álgebra asociativa sobre un cuerpo k tiene estructura de k-álgebra conmutativa graduada con el producto cup. Se probó que dicha estructura es cero  en grados positivos para las álgebras string cuadráticas  triangulares [Bustamante 2006] y las string triangulares [Redondo-Roman 2014] entre otras. En este trabajo generalizamos dichos resultados probando que las álgebras monomiales triangulares tienen siempre producto cup cero en grados positivos. Para esto describimos el mapa diagonal asociado a la resolución de Bardzell dando una forma de calcular el producto cup para cualquier álgebra monomial.

Dada un álgebra A, un automorfismo alfa y una alfa-derivación delta en A, una "extensión de Ore" de A es una nueva álgebra T, que como espacio vectorial son los polinomios con coeficientes en A, pero con la conmutatividad del producto "torcida" por delta y alfa. Cuando delta es cero, se dice que T es un "skew polynomial ring" y cuando alfa es la identidad, se dice que T es un "differential polynomial ring" o una "extensión diferencial de A". Un caso particular de esta última construcción es el álgebra de Weyl. En general, las extensiones de Ore son una importante fuente de ejemplos en álgebra no conmutativa.

El objetivo de esta charla es introducirnos en el estudio de las derivaciones en extensiones diferenciales. Para lo anterior, presentaremos primero las extensiones diferenciales y luego estudiaremos sus derivaciones. Terminaremos concentrándonos en las extensiones del álgebra de polinomios, en cuyo caso abordaremos el cálculo de la cohomología de Hochschild en grado 1. Este es un trabajo en conjunto con Iván Pan.