Categorías n-hereditarias. El concepto de pureza juega un papel importante dentro del álgebra homológica en categorías de Grothendieck. De hecho, existen objetos en dichas categorías con buenas propiedades a la hora de estudiar sucesiones exactas puras. Sin embargo, normalmente uno se encuentra con ciertos agujeros en la literatura a la hora de buscar ejemplos de este tipo de sucesiones, y cuando las hay no siempre se tiene control sobre ellas. Un escenario donde sí podemos tener control es cuando los objetos FP-inyectivos forman una clase de torsión. En este caso, para cada objeto existe una sucesión exacta pura , donde es FP-inyectivo. Recordamos de charlas anteriores que una generalización del escenario anterior se da por medio de los objetos -inyectivos, ya que ellos forman una clase de torsión si, y solo si, los objetos de tipo tienen dimensión proyectiva . Un ambiente para que esto ocurra es el de las categorías -hereditarias. El objetivo de esta charla es dar aplicaciones y ejemplos de tal tipo de categorías. Nos enfocaremos en tres ejemplos conocidos de categorías de Grothendieck, y estudiaremos condiciones bajo las cuales ellas son -hereditarias. A saber: 1. la categoría de complejos de cadena de -módulos; 2. la categoría de funtores aditivos contravariantes , donde es una categoría aditiva esqueléticamente pequeña y es la categoría de grupos abelianos; y 3. la categoría de haces casi-coherentes sobre un esquema casi-compacto y semi-separado . Veremos que nunca puede ser una categoría -hereditaria. En cambio, probaremos que es -hereditaria si, y solo si, tiene pseudo núcleos con cierta condición de levantamiento. Finalmente, mostraremos que una condición suficiente para que sea -hereditaria es tener un cubrimiento finito afín y semi-separado de tal que cada abierto del cubrimiento es homeomorfo al espectro de un anillo -hereditario. [Trabajo conjunto con Daniel Bravo, Carlos E. Parra y Sinem Odabasi]. https://www.cmat.edu.uy/eventos/seminarios/seminario-de-algebra-del-imerl/categorias-n-hereditarias https://www.cmat.edu.uy/@@site-logo/log-cmat.png

Categorías n-hereditarias.

Dia	2019-11-01 11:15:00-03:00
Hora	2019-11-01 11:15:00-03:00
Lugar	Salón de seminarios del IMERL, Facultad de Ingeniería

Categorías n-hereditarias.

Marco Pérez (IMERL)

El concepto de pureza juega un papel importante dentro del álgebra homológica en categorías de Grothendieck. De hecho, existen objetos en dichas categorías con buenas propiedades a la hora de estudiar sucesiones exactas puras. Sin embargo, normalmente uno se encuentra con ciertos agujeros en la literatura a la hora de buscar ejemplos de este tipo de sucesiones, y cuando las hay no siempre se tiene control sobre ellas.

Un escenario donde sí podemos tener control es cuando los objetos FP-inyectivos forman una clase de torsión. En este caso, para cada objeto $M$ existe una sucesión exacta pura $0 \to \mathbf{t}(M) \to M \to (1:\mathbf{t})(M) \to 0$ , donde $\mathbf{t}(M)$ es FP-inyectivo.

Recordamos de charlas anteriores que una generalización del escenario anterior se da por medio de los objetos $\text{FP}_n$ -inyectivos, ya que ellos forman una clase de torsión si, y solo si, los objetos de tipo $\text{FP}_n$ tienen dimensión proyectiva $\leq 1$ . Un ambiente para que esto ocurra es el de las categorías $n$ -hereditarias.

El objetivo de esta charla es dar aplicaciones y ejemplos de tal tipo de categorías. Nos enfocaremos en tres ejemplos conocidos de categorías de Grothendieck, y estudiaremos condiciones bajo las cuales ellas son $n$ -hereditarias. A saber:

1. la categoría $\mathsf{Ch}(R)$ de complejos de cadena de $R$ -módulos;

2. la categoría de funtores aditivos contravariantes $[\Lambda^{\rm op},\mathsf{Ab}]$ , donde $\Lambda$ es una categoría aditiva esqueléticamente pequeña y $\mathsf{Ab}$ es la categoría de grupos abelianos; y

3. la categoría $\mathfrak{Qcoh}(X)$ de haces casi-coherentes sobre un esquema casi-compacto y semi-separado $X$ .

Veremos que $\mathsf{Ch}(R)$ nunca puede ser una categoría $n$ -hereditaria. En cambio, probaremos que $[\Lambda^{\rm op},\mathsf{Ab}]$ es $n$ -hereditaria si, y solo si, $\Lambda$ tiene pseudo núcleos con cierta condición de levantamiento. Finalmente, mostraremos que una condición suficiente para que $\mathfrak{Qcoh}(X)$ sea $n$ -hereditaria es tener un cubrimiento finito afín y semi-separado de $X$ tal que cada abierto del cubrimiento es homeomorfo al espectro de un anillo $n$ -hereditario.

[Trabajo conjunto con Daniel Bravo, Carlos E. Parra y Sinem Odabasi].