Extensiones triviales de k-álgebras de dimensión finita

La extensión escindida de un anillo por un bi-módulo es una construcción clásica de la cual la extensión trivial es un caso particular. Esta construcción ha sido usada como herramienta en varios contextos. Por ejemplo Hochschild observó que una extensión trivial de un anillo R por un R-bi-módulo M corresponde a elementos cero en el segundo grupo de cohomología H^2(R, M). Recientemente las extensiones triviales juegan un rol importante en el estudio de las álgebras inclinadas de conglomerado y poseen conexiones con álgebras gentiles y especiales biseriales simétricas.

En esta charla, estudiamos extensiones triviales de k-álgebras de dimensión finita sobre un cuerpo k-algebraicamente cerrado, donde por extensión trivial de un álgebra A, entenderemos la extensión trivial de A por el cogenerador inyectivo DA, que denotaremos T(A). Las extensiones triviales de tipo finito fueron caracterizadas por Hughes-Waschbüsch en términos de extensiones triviales isomorfas. Este resultado motivó a Wakamatsu a estudiar el problema de cuándo dos extensiones triviales son isomorfas en el contexto de álgebras de Artin.

Decidir cuándo un álgebra es la extensión trivial de un álgebra no es una tarea fácil. En esta charla damos un algoritmo, en términos de carcaj con relaciones, para decidir cuándo un álgebra es una extensión trivial o no. En casos particulares, Fernández y Platzeck estudiaron extensiones triviales isomorfas en términos de carcajes con relaciones, y dieron una interpretación del teorema de Wakamatsu. En esta charla usando las técnicas introducidas por las autoras y técnicas de extensiones escindidas, extendemos el resultado de Fernández y Platzeck al contexto general. Por otra parte, obtenemos una prueba independiente del teorema de Wakamatsu.

Trabajo conjunto con Elsa Fernández, Sibylle Schroll, Hipólito Treffinger y Yadira Valdivieso.