Homotopía algebraica y K-teoría bivariante.

En un trabajo en preparación y en colaboración con Emanuel Rodríguez Cirone estamos estudiando estructuras homotópicas en la k-teoría bivariante algebraica. 

Con el objetivo de realizar una charla autocontenida, empezaré hablando de las homotopías algebraicas en las álgebras asociativas, las diferencias y similitudes con la homotopía de espacios. Definiré la categoría kk y sus propiedades. 

Una estructura categórica para estudiar teoría de homotopía abstracta es la categoría de modelos introducida por Quillen.  En esta estructura tenemos una clase de morfismos que representan las “suryecciones buenas” (FIBRACIONES), otra clase de morfismos que representan las “inyecciones buenas” (COFIBRACIONES) y una tercera clase de morfismos que representan las equivalencias (EQUIVALENCIAS).  Estas clases deben satisfacer ciertos axiomas.

Una estructura más débil pero que mantiene herramientas para hacer teoría de homotopía es la estructura de categoría de objetos fibrantes definida por Brown. En esta última se tienen fibraciones y equivalencias pero no cofibraciones. 

El objetivo de la charla es probar que la categoría de álgebras, con morfismos sobreyectivos con una sección lineal y las  kk-equivalencias forman una categoría de objetos fibrantes. 

Mostraré además que si consideramos equivalencias homotópicas en lugar de kk-equivalencias no tenemos una categoría de objetos fibrantes. 

El resultado principal de nuestro trabajo es la construcción de una infinito categoría estable cuya categoría de homotopía es la categoría kk.  De este último resultado no daré detalles.