La conjetura de Golomb y Welch

S. Golomb y L. Welch (1968) conjeturaron que para n>2 y e>1 no se puede descomponer Z^n como una suma directa de la forma Z^n = B(e) + C, donde B(e) es la bola con centro en el origen y radio e con respecto a la métrica l1. Esta conjetura, aunque ha sido probada para varios casos especiales, continua abierta hoy en dia. El origen de este problema proviene de la teoría de códigos, más concretamente está relacionado con la construcción de códigos perfectos para la métrica de Lee (que es la métrica utilizada para modulación de fase o transmisión en ciertos tipos de canales especiales con ruido).

En esta charla voy a comenzar hablando un poco sobre teoría de códigos, comenzando por la teoría clásica (Hamming) para luego hablar sobre códigos en la métrica de Lee (en particular sobre la conjetura de Golomb y Welch). Voy a contar un poco sobre los resultados más relevantes relacionados con esta conjetura. En particular voy a enfocar la atención en el caso lineal (cuando C es un reticulado) donde voy a hablar de dos artículos: el primero en coautoria con Antonio Campello (Imperial College London) y Sueli Costa (Unicamp) donde probamos que la conjetura vale para infinitos n para radio e=2 basados en la infinitud de ciertos tipos especiales de primos ("primos amigables") y el otro donde se prueba un criterio de no existencia que generaliza el resultado anterior utilizando propiedades del álgebra de los polinomios simétricos multivariados.