Seminario de Álgebra del IMERL - Año 2021

En 2010, Mastnak, Pevtsova, Schauenburg y Witherspoon dan una respuesta afirmativa a esta pregunta, bajo hipótesis que incluyen el caso en el que $A$ es un álgebra de Hopf trenzada en la categoría de módulos de Yetter-Drinfeld sobre un álgebra de Hopf $H$, si $A$ o $H$ es de dimensión finita.

Luego de presentar el problema con toda la terminología necesaria, veremos un contexto que comprende álgebras de Nichols fuera de las hipótesis antes mencionadas, y en el que se puede responder (una generalización de) esta pregunta.

Este es un trabajo desarrollado con Andrea Solotar, en el marco de mi tesis de doctorado orientado por ella y por Mariana Pereira.

En 1969 M. Auslander y M. Bridger dieron la noción de G-dimensión para módulos finitamente generados sobre anillos noetherianos y desde entonces se volvió interesante estudiar el comportamiento de dichos módulos de G-dimensión finita debido a que años más tarde L. Christensen, A. Franklin y H. Holm prueban que estas dimensiones coinciden cuando el módulo tiene dimensión proyectiva finita.

Años después, E. Enochs & O. M. G. Jenda definen la clase de módulos Gorenstein proyectivos como una generalización de los módulos de G-dimensión cero lo cual motivó otros conceptos que a su vez también los generalizan como: los módulos strongly Gorenstein proyectivos y los módulos n-strongly Gorenstein proyectivos (Bennis y Mahdou, 2007 & 2009).

Estas generalizaciones no se restringen a considerar módulos sobre un anillo. En 2020, V. Becerril, O. Mendoza y V. Santiago, dan otra generalización de módulos Gorenstein proyectivos definiendo los objetos Gorenstein proyectivos relativos para un par de clases de objetos en una categoría abeliana. Lo que nos llevó a la pregunta, ¿Es posible dar una versión de los módulos n-strongly Gorenstein proyectivos pero ahora para un par de clases de objetos usando las herramientas homológicas que una categoría abeliana provee?

En esta plática, proponemos una definición que responde la pregunta anterior, veremos como resultados conocidos para los módulos n-strongly Gorenstein proyectivos pueden obtenerse con esta definición y daremos algunas aplicaciones cuando el par de clases de objetos cumple ciertas relaciones de ortogonalidad, por ejemplo, para pares hereditarios y subcategorías n-cluster tilting.

La pregunta de interés que motiva a nuestro trabajo es cómo asegurar que la categoría Add(A,R-Mod) de funtores aditivos tenga una estructura de modelos proyectiva/inyectiva sin poner ninguna condicion en el anillo R. Con este objetivo en mente, en esta charla hablaremos de cómo construir ‘posibles’ pares de cotorsión de Hovey en Add(A,R-Mod), y posteriormente presentaremos una caracterización explícita de sus objetos. Los resultados obtenidos sobre estos pares de cotorsión en Add(A,R-Mod) generalizan los resultados conocidos en las categorías de complejos de cadena y módulos sobre un anillo de matrices triangulares.  <br/> <br/>

Es un trabajo en curso con Sergio Estrada y Manuel Cortés Izurdiaga.

La extensión escindida de un anillo por un bi-módulo es una construcción clásica de la cual la extensión trivial es un caso particular. Esta construcción ha sido usada como herramienta en varios contextos. Por ejemplo Hochschild observó que una extensión trivial de un anillo R por un R-bi-módulo M corresponde a elementos cero en el segundo grupo de cohomología H^2(R, M). Recientemente las extensiones triviales juegan un rol importante en el estudio de las álgebras inclinadas de conglomerado y poseen conexiones con álgebras gentiles y especiales biseriales simétricas.

En esta charla, estudiamos extensiones triviales de k-álgebras de dimensión finita sobre un cuerpo k-algebraicamente cerrado, donde por extensión trivial de un álgebra A, entenderemos la extensión trivial de A por el cogenerador inyectivo DA, que denotaremos T(A). Las extensiones triviales de tipo finito fueron caracterizadas por Hughes-Waschbüsch en términos de extensiones triviales isomorfas. Este resultado motivó a Wakamatsu a estudiar el problema de cuándo dos extensiones triviales son isomorfas en el contexto de álgebras de Artin.

Decidir cuándo un álgebra es la extensión trivial de un álgebra no es una tarea fácil. En esta charla damos un algoritmo, en términos de carcaj con relaciones, para decidir cuándo un álgebra es una extensión trivial o no. En casos particulares, Fernández y Platzeck estudiaron extensiones triviales isomorfas en términos de carcajes con relaciones, y dieron una interpretación del teorema de Wakamatsu. En esta charla usando las técnicas introducidas por las autoras y técnicas de extensiones escindidas, extendemos el resultado de Fernández y Platzeck al contexto general. Por otra parte, obtenemos una prueba independiente del teorema de Wakamatsu.

Trabajo conjunto con Elsa Fernández, Sibylle Schroll, Hipólito Treffinger y Yadira Valdivieso.

En esta plática hablaremos de ideales k-idempotentes en variedades dualizantes. Veremos que varios resultados dados por M. Auslander, M. I. Platzeck, y G. Todorov en al artículo [1] se valen en el contexto de variedades dualizantes. Dado un ideal I que es la traza de un módulo proyectivo, construiremos un recollement el cual es el análogo a uno obtenido en categorías de módulos sobre álgebras de Artin. Si el tiempo lo permite veremos ciertas propiedades homológicas involucradas en tal recollement.

Trabajo conjunto con L. G. Rodríguez-Valdés y M. L. S. Sandoval-Miranda.

Referencias:

[1] M. Auslander, M. I. Platzeck, and G. Todorov. Homological theory of idempotent ideals. Transactions of the American Mathematical Society, 332(2):667?692, feb 1992.

[2] L. G. Rodríguez-Valdés, M. L. S. Sandoval-Miranda, V. Santiago-Vargas. Homological theory of k-idempotent ideals in dualizing varieties. Preprint arxiv: https://arxiv.org/pdf/2008.07158.pdf

En los últimos años, diferentes clases de R-módulos Gorenstein han sido estudiados, como lo son: Ding proyectivos, AC-gorenstein proyectivos, (L, A)-Gorenstein relativos a un par de dualidad (L, A), Add(C)-Gorenstein con C un módulo débilmente tilting Wakamatzu, etc. Varias generalizaciones en categorías abelianas han sido propuestas alcanzando a reproducir algunos de los resultados conocidos en R-módulos.

En esta charla presentaremos la noción de par GP-admisible en una categoría abeliana A y presentamos la clase de objetos Gorenstein relativos asociados a tal par. Hacemos ver que desde tal noción obtenemos una buena generalización de las clases Gorenstein mencionadas. Veremos cómo podemos obtener pares de cotorsión relativos y pares de Frobenius desde la clase de objetos Gorenstein relativos y veremos cómo el punto de vista de los objetos Gorenstein relativos nos proporciona mayor información de las clases de R-módulos Gorenstein, en particular obtenemos una caracterización de la finitud de la dimension global Gorenstein en Mod(R).

En esta charla voy a trabajar con el concepto de álgebra LIT definido recientemente por D. Bravo, O. Mendoza, M. Lanzilotta y J. Vivero. El objetivo fundamental es explorar el alcance de esta definición. En particular voy a dar condiciones para que un álgebra triangular (T 0 / M U) sea de tipo LIT en términos de las álgebras T, U y del módulo M. Luego veremos ejemplos interesantes que se desprenden de ese resultado. Para finalizar voy a motivar el planteo de la siguiente interrogante: dadas dos k-álgebras LIT, ¿será que el producto tensorial es LIT? A modo de aplicación del teorema sobre álgebras triangulares, se muestra que si T es una k-álgebra LIT y kQ es un álgebra de caminos de tipo Dynkin, entonces T ⊗ kQ es de tipo LIT, dando así una respuesta parcial al problema.

La dimensión global de un álgebra asociativa A sobre un cuerpo es una medida de la complejidad de sus representaciones. Para un álgebra de matrices es cero. Para álgebras de caminos de un carcaj es 1. Es infinita para el álgebra de números duales.

Veremos una breve introducción a la homología de Hochschild (1945), lo cual nos permitirá enunciar la conjetura de Han (2006): para un álgebra de dimensión finita, la homología de Hochschild debería controlar la finitud de la dimensión global.

Luego presentaré avances recientes realizados hacia mostrar la conjetura de Han, utilizando la versión relativa de la homología de Hochschild (1956) respecto a una subálgebra (poco usada hasta ahora). Disponemos hoy de una sucesión cercana a exacta de Jacobi-Zariski, que relaciona las versiones absolutas y relativas de la homología de Hochschild. La brecha para que sea exacta se puede aproximar por una sucesión espectral que tiene funtores Tor en su primera página. Esta herramienta nos permite mostrar que la clase de álgebras que verifican la conjetura de Han es cerrada para extensiones acotadas de álgebras.

Estos resultados han sido obtenidos en colaboración con Marcelo Lanzilotta, Eduardo N. Marcos y Andrea Solotar.

We give a new and intrinsic proof of the transitivity of the braid group action on the set of full exceptional sequences of coherent sheaves on a weighted projective line. We do not use here the corresponding result of Crawley-Boevey for modules over hereditary algebras. As an application we prove that the strongest global dimension of the category of coherent sheaves on a weighted projective line X does not depend on the parameters of X. Finally we prove that the determinant of the matrix obtained by taking the values of n Z-linear functions defined on the Grothendieck group K₀(X) ≃ Zⁿ of the elements of a full exceptional sequence is an invariant, up to sign.

En esta charla les contaré cómo se construye la categoría repetitiva de conglomerado que fue definida por Zhu en el año 2011. Nosotros nos concentraremos en las de tipo Dn. Para el tipo Dn les mostraré un modelo geométrico de dicha categoría y les contaré como se relaciona la Categoría  Repetitiva de conglomerado 
con la categoría de conglomerado.

Sea Λ un álgebra de Artin. Es bien conocido que las clases de torsión funcionalmente finitas se describen mediante la teoría τ-tilting. El objetivo de esta charla es introducir la noción de clase de torsión relativa, vinculada a un subfunctor F del bifuntor Ext^1_Λ y dar una caracterización de estas clases, cuando son una clase preenvolvente. Para hacer eso, presentamos las nociones de módulos F-presilting y álgebra F-admisible. Los Λ-módulos F-presilting son una generalización de los Λ-módulos τ -rígidos y F-tilting. También mostramos algunos ejemplos de resultados clásicos en pares de torsión que no se satisfacen en clases de torsión relativas.

Estos resultados forman parte de un trabajo conjunto con Octavio Mendoza.

Los métodos homológicos proporcionan información importante sobre la estructura de las álgebras asociativas, revelando a veces conexiones ocultas entre ellas. La homología y la cohomología de Hochschild de álgebras asociativas unitarias sobre un cuerpo, junto con su estructura de álgebra graduada y su estructura de Gerstenhaber, son invariantes preservados por equivalencias derivadas.

La familia de álgebras monomiales cuadráticas ha atraído la atención de muchos autores en los últimos tiempos, así como algunas subfamilias de las mismas como por ejemplo las álgebras suaves, que están conectadas con muchas otras áreas de la matemática.

Damos una descripción completa de la estructura de la cohomología de Hochschild de un álgebra monomial cuadrática como álgebra conmutativa graduada y como álgebra de Gerstenhaber.

Este es un trabajo conjunto con Cristian Chaparro Acosta, Sibylle Schroll y Mariano Suárez-Álvarez.

En este trabajo exponemos y demostramos la sucesión espectral de Atiyah-Hirzebruch equivariante, que es una generalización de la sucesión espectral de Atiyah-Hirzebruch al contexto de los G-espacios, dado un grupo G. Esta sucesión permite calcular grupos de homología para una G-teoría de homología arbitraria. Primero probamos una versión de la sucesión para C-espacios, donde C es una categoría pequeña. La versión para G-espacios se deduce de ésta tomando C = Or G^op, donde OrG es la categoría de órbitas de G. Luego mostramos un ejemplo de cálculo usando esta sucesión espectral.

Nos preguntamos cuándo un espacio topológico finitamente dominado es homotópicamente equivalente a un CW-complejo finito.  La obstrucción de finitud de Wall de un espacio topológico X es un invariante del tipo de homotopía de X que nos permite responder a esta pregunta. Dicha obstrucción se obtiene como un elemento de K_0(ZG), siendo G el grupo fundamental de X, y su anulación es una condición necesaria y suficiente para que un espacio finitamente dominado sea equivalente a un CW-complejo finito.