Sobre los subgrupos de automorfismos del plano, sus órbitas y los estabilizadores de las mismas

Es sabido que no es posible poner una estructura de esquema "canónica" en el conjunto Aut(k^n) de los automorfismos del espacio afín (k es un cuerpo que suponemos perfecto), pero podemos dotarlo de una estructura de ind-variedad -- es decir, podemos construir una topología en Aut(k^n) de modo que queda filtrado por variedades algebraicas). Un problema sumamente interesante es el encontrar los subgrupos algebraicos de Aut(k^n), y una manera de hacerlo es calculando estabilizadores de conjuntos cerrados.

Black y Stampfli abordaron en 2015 el caso del plano, describiendo los estabilizadores de las curvas del plano: para las curvas obtenidas aplicando un automorfismo a un conjunto finito rectas paralelas resulta no algebraico, y en el resto de los casos es algebraico.  En el caso de las curvas irreducibles módulo la aplicación de un automorfismo, el estabilizador es algebraico de dimensión 1 para 6 familias, el estabilizador de la recta  no es algebraico y para el resto de las curvas es finito.

En dicho trabajo quedó sin respuesta la descripción de los estabilizadores de conjuntos arbitrarios cuya adherencia es una curva, problema que abordamos con Iván Pan en un trabajo reciente. En concreto, nos interesamos en el cálculo de los estabilizadores de  dos tipos de órbitas de subgrupos de Aut(k^2)  (i) órbitas de subgrupos de Aut(k^2) con adherencia una curva irreducible y (ii) órbitas de automorfismos dados (es decir del grupo cíclico generado por el automorfismo) cuya adherencia es una curva. Contrariamente a lo sugerido en el artículo de Blanc y Stampli mencionado, en muchos casos aparecen subgrupos que no son algebraicos.

En esta charla, guiado por el objetivo final de presentar los resultados obtenidos en colaboración con Iván, presentaré una necesariamente breve introducción al functor de automorfismos del plano, que espero sea accesible con conocimientos mínimos de geometría algebraica.