Seminario de Álgebra del IMERL (formato antiguo)

Jornada de 3 charlas seguidas

Este viernes es atípico en las actividades del seminario de álgebra, tendremos el placer de participar de la defensa de monografía de José Malanga. Titulada: Especies y su conexión con Álgebras de Hopf graduadas. Resumen: El objetivo del trabajo monográfico es mostrar como varias álgebras de Hopf (graduadas) se pueden obtener aplicando ciertos functores a monoides de Hopf en especies. En esta charla introduciremos las especies vectoriales sobre conjuntos finitos, mostrando algunas propiedades básicas de estos conceptos. Daremos una introducción sobre functores monoidales bilaxos y sus propiedades básicas. Por último definiremos functores monoidales bilaxos (functores de Fock), de la categoría Sp en gVect y los aplicamos a distintos ejemplos de especies, para obtener así varios de los ejemplos de biálgebras graduadas. Finalmente, presentaremos algunas propiedades de estos functores, en lo que respecta a su comportamiento con la dualización y preservación de propiedades como conmutatividad y coconmutatividad.

Hay algo que tienen en común varias nociones de cohomología en distintas categorías, como la cohomología de grupos, de álgebras (Hochschild), de coálgebras (Cartier), de álgebras de Hopf, de especies comonoides, etc. Todas ellas se pueden ver como casos particulares de una definición general de cohomología de un (co)monoide en una categoría monoidal. Además, entre varias de estas categorías hay funtores que a su manera relacionan las estructuras monoidales. Surge entonces la pregunta de si estos funtores sirven para relacionar las nociones de cohomología en la categoría de salida y en la de llegada. Vamos a repasar de manera autocontenida las definiciones de categoría monoidal y funtor monoidal (co)laxo, ver en detalle algunos ejemplos sencillos y comentar brevemente el ejemplo que motivó esta pregunta: los funtores de Fock de la categoría de especies a la de espacios vectoriales graduados. El objetivo es contar un intento de empezar a responder la pregunta del título, viendo en el caso general cómo estos funtores llevan (co)monoides en (co)monoides y bi(co)módulos en bi(co)módulos, para finalmente construir un morfismo entre los correspondientes complejos (co)bar. Si da el tiempo voy a contar qué da este morfismo en el caso de uno de los funtores de Fock, por qué no me gusta lo que da en este caso, y qué posibles variantes del funtor se podrían usar para obtener algún morfismo entre complejos un poco más rico.

La idea de esta charla es continuar el camino del estudio de las estructuras de casi-Frobenius para las álgebras de caminos que comenzaron A. González, D. Artenstein y M. Lanzilotta . En este caso lo que vamos a ver es como bajo ciertas condiciones las álgebras inclinadas de conglomerado de tipo finito admiten un coproducto ( o varios ) que le dan a dichas álgebras estructura de casi-Frobenius.

Consideraremos una álgebra de artin A y su categoría de A-módulos finitamente generados, mod-A. En la primer parte de nuestro trabajo estudiaremos los A-módulos X, tales que X sea sumando directo de \Omega^j(X) (o de \Omega^{-j}(X)) para algún j natural, a los cuales nombraremos módulos p-periódicos (i-periódicos). También estudiaremos aquellos módulos X tales que X sea sumando directo de \Omega^j(Y) (o de \Omega{-j}(Y)) para algún j natural, donde Y es un -módulo p-periódico (i-periódico), a los que llamaremos virtualmente p-periódicos (virtualmente i-periódicos). En la segunda parte de nuestro trabajo caracterizaremos los A-módulos p-periódicos, virtualmente p-periódicos, i-periódicos y virtualmente i-periódicos para las álgebras A= kQ/F^2 donde Q es un quiver finito y F es el ideal generado por las fechas.

Daremos la definición y algunas propiedades de las álgebras Igusa-Todorov. Veremos un ejemplo de un álgebra de artin que no es Igusa-Todorov. Para una categoría abeliana A, definimos la categoría PEx(A) de diagramas pullback de sucesiones exactas cortas en A, como una subcategoría de la categoría de funtores Fun(\Delta, A) para una categoría de diagramas fija \Delta. Para un objeto M en PEx(A), demostramos la existencia de una sucesión exacta corta 0 {\to} K {\to} P {\to} M {\to} 0$ de funtores, donde los objetos están en PEx(A) y P(i) está en Proj(A) para todo i en \Delta. Demostramos que PEx(A) es cerrada por sumas y sumandos directos y exhibimos la forma de los objetos proyectivos en PEx(A). Veremos un ejemplo que muestra que PEx(A) no es una categoría exacta. Como aplicación, en el contexto de álgebras de Artin, demostramos que si (C, D, E) es una tripleta de clases de objetos sizigia finita en mod(\Lambda) que satisfacen condiciones especiales, entonces \Lambda es un álgebra Igusa-Todorov. Veremos un par de ejemplos de aplicación de este teorema.

En matemática existen diversas estructuras que admiten el concepto de conmutatividad. Algunas de ellas son los monoides, las teorías (lógicas) ecuacionales y las operads. En esta charla presentare las categorías duoidales (categorías con dos estructuras monoidales compatibles) como el ambiente natural donde se puede definir conmutatividad, generalizando los ejemplos mencionados. [(with Richard Garner). “Commutativity”. In: J. Pure Appl. Algebra 220.5, pp. 1707–1751. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.09.003].

I will state Turaev's conjecture, which compares the Reshetihin-Turaev and the Turaev-Viro invariants via the Joyal-Street center construction, and explain how this conjecture was proved by Turaev and Virelizier using in particular the notion of Hopf monads which provides an algebraic description of the center construction.

I will explain how certain types of categories give rise to invariants of 3-manifolds, both closed (scalar invariants) and with boundaries (TQFTs). More precisely, spherical categories give rise to the Turaev-Viro invariants, which are achiral, and modular categories, to the Reshetikhin-Turaev invariants, which are chiral. I will also explain how the modularity condition can be relaxed, based on Mickael Lallouche's thesis.

Resumen: El objetivo de esta charla es obtener la estructura de modelos Gorenstein-plana sobre la categoría Mod(R) de R-módulos a izquierda, donde R es un anillo GF-cerrado. Nuestra prueba no dependerá de que el anillo R sea coherente, por lo que será diferente y más general a la construcción de la misma estructura de modelos hecha por James Gillespie hace tres años. Veremos también cómo extender nuestras técnicas para obtener nuevos modelos de categorías estables a partir de módulos Gorenstein-planos relativos a otros contextos, como los llamados módulos Gorenstein AC-planos. Si el tiempo lo permite, hallaremos también estructuras de modelos asociadas a módulos y complejos de cadena Gorenstein-planos relativos, y construiremos recollements para relacionar las categorías de homotopía correspondientes. La charla tratará de ser lo más auto-contenida posible. Basta tener conocimientos básicos de teoría de módulos y complejos de cadenas sobre un anillo. Cualquier noción de categorías de modelos y teoría de homotopía será recordada cuando sea necesario. Esta charla se basa en un trabajo reciente en colaboración con Sergio Estrada (Universidad de Murcia) y Alina Iacob (Georgia Southern University).

Sea A una k-álgebra de dimensión infinita, donde k es un cuerpo y B una base de A. En general no es posible definir en el producto directo indizado por B una estructura de A-módulo compatible con la de A como módulo sobre sí misma. Es conocido del artículo Modules over infinite-dimensional algebras (L. M. Al-Essa, S. R. López-Permouth, N. M. Muthana) que si la base B es amenable, entonces dicha estructura queda bien definida. También se sabe que, dada una k-álgebra de dimensión infinita con una base numerable, es posible construir una nueva base que sea amenable. El objetivo de la charla está relacionado precisamente con la existencia de este tipo de bases en un álgebra cualquiera, dando respuesta a la interrogante planteada en el artículo sobre la posibilidad de encontrar una k-álgebra tal que todas sus bases sean amenables.

Un álgebra de Hopf semisimple es un álgebra de Hopf que es semisimple como álgebra (o, si quieren pensarlo alrevés, un álgebra semisimple que admite un coproducto que le da estructura de álgebra de Hopf). Un ejemplo típico es el álgebra de grupo de un grupo finito (en característica cero). El tema de la clasificación de las álgebras de Hopf semisimples es muy vasto y ha sido muy trabajado, pero aun queda mucho por hacer (que yo sepa, todavía no se han clasificado todas las de dimensión menor que 100). La idea de esta charla es dar una introducción al tema, contando algunas propiedades y particularidades de estas álgebras e introduciendo las técnicas que se usan para su clasificación. Eso nos lleva a ver el "teorema de Lagrange" en Hopf, las extensiones de álgebras de Hopf, las álgebras de Frobenius, el anillo de Grothendieck asociado, etc. Trataré de mostrar cómo aparece todo lo anterior, pero sin profundizar mucho en nada. Como prerrequisito, diría que con saber la definición de álgebra de Hopf y tener en mente algún ejemplo ya alcanza.

Los wreaths fueron introducidos por Lack y Street en [LS]. En [BC] se demostró que muchas más estructuras conocidas en álgebra son ejemplos de los wreaths, entre ellos el producto cruzado de Sweedler, versión de este para coquasi-biálgebras y el wreath mixto para quasi-biálgebras. Wreath se define como mónada en la 2-categoría EM(K) que es la completación libre bajo los objetos de Eilenberg-Moore para mónadas en una 2-categoría K. Dicho menos preciso pero más corto: un wreath es una mónada en la 2-categoría de mónadas. Desempacando la definición se obtiene que un wreath consiste de dos 1-celdas (endomorfismos sobre una 0-celda) y tres 2-celdas en K de modo que se cumplan 7 axiomas. En dichos ejemplos los wreaths consisten de dos objetos y tres morfismos en una categoría monoidal C, donde uno demuestra que los tres morfismos nombrados satisfacen los 7 axiomas. Mi pregunta, que motivó esta investigación, fue por un lado: cómo uno sabe que en los ejemplos estudiados precisamente esos 3 morfismos funcionarán? Será posible obtener esos morfismos como parte intrínseca de la definición de un objeto de tipo wreath? Y por el otro lado: wreaths se definen a través de mónadas en una 2-categoría K, dualmente podemos considerar los cowreaths (definidos a través de comónadas en K), entonces qué obtendríamos si definieramos "biwreaths" (a través de bimónadas en K)? En este trabajo mostramos qué es un biwreath (consiste de 2: 1-celdas, 8: 2-celdas y 43 axiomas) y como de los propios axiomas de biwreath resultan algunas expresiones para ciertas 2-celdas de aquellas 8. Mostramos que algunas construcciones algebraicas conocidas (el biproducto de Radford y las meniconadas arriba) resultan como casos particulares de nuestra definición de biwreath. De este modo obtenemos un sistema autocontenido y los ejemplos estudiados quedan clarificados a un nivel más profundo. [BC] D. Bulacu, S. Caenepeel, "Monoidal structures obtained from wreaths and cowreaths", Algebras Represent. Theory 17 (2014), 1035--1082. [LS] S. Lack, R. Street, "The formal theory of monads II", J. Pure Appl. Algebra 175/(1-3) (2002), 243-–265.

The question of the possible topologies of real algebraic hypersurfaces in the projective space of dimension n is still open (16th Hilbert's problem). For instance, the maximum number of connected components (b_0) of a surface of degree 5 is still unknown (we know that it is 23, 24 or 25). The complete classification of curves of degree 8 is also not finished. There are now very few results (none since 2001 ?) and new directions are necessary. In this talk, we adopt an Euclidian point of view using the Kostlan/Bombieri norm that we will introduce. We give a simple expression for the distance d(P,Δ) between a polynomial P and the real discriminant Δ (the set of real polynomials with a real singularity). Moreover, for hypersurfaces with a "locally extremal" topology, d(P,Δ) is equal to the least non zero critical value of |P| on the unit sphere of Rⁿ. We will define this notion of "locally extramal", but it includes hypersurfaces with maximum sum of Betti numbers for a given degree and also the empty ones. In this particular case, polynomials that maximise the distance to the discriminant, with a fixed degree and norm, can be written as sums of d-forms (i.e. L(x) = (x.u)ᵈ) where d is the degree of the polynomial. Moreover, the directions of the linear forms (the u above) are the points where the least critical value of |P| is reached. We identify exactly this special polynomials in two cases: - homogeneous polynomial in 2 variables with the maximum number of real roots. - positive polynomials in any number of variables or degree. In each cases, we get an interesting corollary... If enough time, we could discuss the number of terms in the sums of d-forms mentioned above and show some sharp lower-bounds for some curves of degree 6 (Those that interested Hilbert when he stated his 16th problem). Among the numerous open questions introduced in the work, we could hope (or dream?), to find a way to have both sharp lower and upper bounds for this number of terms and deduce that an unresolved topological type is in fact impossible because the bounds are incompatible. However, the problem of upper bounds seems very hard…