Extensiones abelianas

Las álgebras de Hopf generalizan a los grupos, luego es de esperar que tengan propiedades semejantes. Uno de los problemas clásicos de teoría de grupos es el de las extensiones. Dados dos grupos (finitos) H y K, decimos que un grupo G es una extensión de H por K, si G contiene (una copia de) H como subgrupo normal de forma tal que el cociente G/H es isomorfo a K. Lo que interesaría es, dados H y K, poder determinar todas las posibles extensiones de H por K. Este problema en general no se sabe resolver (si se pudiera, se conocerían todos los grupos finitos!), pero si el grupo K es abeliano, entonces se sabe que el conjunto de extensiones de H por K queda -a grandes rasgos- determinado por el segundo grupo de cohomología H^2(H,K). La generalización natural de este último caso, son las extensiones abelianas de álgebras de Hopf. En esta charla veremos en qué consisten, daremos una descripción cohomológica análoga a la que existe en grupos y veremos una sucesión exacta interesante. Estos son resultados de A. Masuoka de fines del milenio pasado, y estudiar una parte de esto fue el trabajo de monografía de Javier Cóppola. Si el tiempo lo permite, veré brevemente cómo usando la sucesión exacta anterior se obtiene una respuesta afirmativa a una pregunta que planteé en mi charla del año pasado. Mi idea es hacer la charla lo más elemental posible, introduciendo los temas a medida que se vayan necesitando. En particular no asumiré conocimientos de álgebra homológica (aunque espero motivarlos a su estudio).