Seminario de Álgebra y temas afines - Año 2017

Diversos productos y coproductos (e.g. Hadamard, Cauchy, Kronecker, inducción, interno, externo, de Solomon, de Malvenuto--Reutenauer, convolución, etc.) se han definido en los siguiente objetos: especies, representaciones del grupo simétrico, funciones simétricas, endomorfismos de álgebras de Hopf, ​permutaciones, etc. La introducción del producto de Heisenberg por los autores permite unificar y simplificar todos esos productos. Este producto a ser no graduado, permite una mayor flexibilidad y en sus partes homogéneas contiene los productos especiales mencionados. Trataremos de poner énfasis en algunos aspectos combinatorios divertidos que aparecen ligados a la generalización de los productos mencionados.​

Dado un sistema de ecuaciones polinomiales sobre un cuerpo finito k, nos interesa estimar cuántas soluciones tiene con coordenadas en k, o más generalmente en todas las extensiones finitas de k. Estas cantidades aritméticas se combinan en una función generatriz análoga a la función zeta de Riemann. En línea con lo expuesto en las charlas de Gonzalo Tornaría sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, se espera que ciertas propiedades analíticas de esta función reflejen información aritmética sobre el sistema de ecuaciones. Esta función zeta fue introducida, para curvas, por E. Artin en su tesis (1921), donde conjeturó algunas propiedades que debería tener; entre ellas una suerte de "hipótesis de Riemann" sobre la ubicación de sus ceros. Estas conjeturas fueron probadas por A. Weil (1949), quien las extiende a variedades de dimensión mayor. Fueron motor del desarrollo de la cohomología etale de Grothendieck (1960's), que permitió probar parte de las conjeturas. Finalmente la hipótesis de Riemann fue demostrada por Deligne (1974), lo que le valió la medalla Fields. En esta charla introduciremos la función zeta, la calcularemos en algunos ejemplos, enuncia remos las conjeturas de Weil y algunas de sus consecuencias, y explicaremos qué motivó a Weil a creer en ellas.

La idea de esta serie de charlas es hablar cada semana sobre un problema fundamental en Teoría de Números. Las charlas serán más o menos independientes y completamente autocontenidas, aunque intentaré que la secuencia en su conjunto tenga una narrativa en común. La segunda charla es sobre la Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, que es uno de los 7 problemas del milenio del Instituto Clay, también conocidos como "problemas del millón (de dólares)". Siendo uno de los problemas más importantes de la geometría aritmética, es una fórmula exacta que relaciona los invariantes geométricos, aritméticos, y analíticos de una curva elíptica sobre un cuerpo global. Explicaré los invariantes que aparecen en la fórmula, y daré algunos ejemplos. Esta conjetura es una de las que ha sido verificada numéricamente en mayor escala, de hecho su formulación inicial fue producto de cálculos realizados al comienzo de los años 60 en la computadora EDSAC-2 de la Universidad de Cambridge. https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture NOTA: esta charla es completamente independiente de la primera.