Seminario de Álgebra y temas afines - Año 2018

Polynomials are everywhere. Designing windshield wiper mechanisms, modeling stoichiometric chemical reactions, nonlinear optimization and control, and many other scenarios, all generate polynomial systems -- and demand they be solved. The functions can be univariate, or multivariate. The systems can be structured, or dense. The solutions can be sets of points, or entire positive-dimensional spaces. And they can be computed in a variety of ways.

Numerical algebraic geometry is a field of computational mathematics which solves and manipulates polynomial systems primarily using numerical continuation. The field is highly application-driven, and continues to mature, both in terms of theoretical boundaries and software implementations. Horizons include self-tuning trackers and systems having billions of solutions. This talk will discuss numerical algebraic geometry -- its motivations, incarnations, and applications.

En el siguiente trabajo presentaremos una nueva categoría que será el resultado de fusionar la categoría de álgebras de Frobenius con la categoría de álgebras diferenciales graduadas. A los objetos de esta nueva categoría los denominaremos álgebras diferenciales graduadas de Frobenius. Probaremos que los resultados clásicos relativos a las K-álgebras de Frobenius valen también en este nuevo contexto. Por ejemplo, uno de los resultados que probaremos será que si A es un álgebra diferencial graduada de Frobenius de tipo finito simétrica podemos definir un coproducto graduado en A de forma tal que éste resulte un morfismo de A-bimódulos. Este coproducto junto a la forma de Frobenius ε le darán a A estructura de coálgebra graduada. En este sentido, veremos también que si A es un álgebra diferencial graduada de Frobenius podremos asociarle una familia de automorfismos de A que serán los automorfismos de Nakayama y estos serán la clave para probar que el resultado que acabamos de mencionar sobre la existencia de coproductos graduados en A vale aún si carecemos de la hipótesis de simetría para A. A lo largo de este trabajo, mostraremos que si bien las primeras definiciones y resultados están dadas en un contexto 0 graduado, de hecho las mismas definiciones pueden darse en un contexto n-graduado por medio de un corrimiento de grado a través de una función que llamaremos shift de grado n. La ventaja de tener las definiciones ahora en el contexto n graduado radica en que será más fácil encontrar ejemplos de álgebras diferenciales graduadas de Frobenius con diferencial no trivial. También en este contexto definiremos lo que serán las álgebras diferenciales graduadas nearly Frobenius de grado n. Finalmente daremos dos ejemplos de álgebras diferenciales graduadas de Frobenius, una de dimensión finita y otra de dimensión infinita.

En esta charla veremos como algunos valores de la función \phi de Igusa-Todorov están siempre garantizados y otros pueden no existir. A partir de esto se da una prueba de la conjetura finitista para cierta familia de álgebras.

Goodwillie’s theorem states that the periodic cyclic homology is invariant under nilpotent extensions. We introduce a special type of nilpotent extensions of unital algebras (called row extensions) for which we prove a stronger result: the invariance of Hochschild and cyclic homology. The row extensions appear in abundance. They are always H-unital but generically non-unital and noncommutative. A very specific type of a row extension appears naturally in the construction of the Chern-Galois character. If P is an algebra with a principal coaction, and B is its coaction-invariant subalgebra, then the Chern-Galois character factors through the row extension of B by the nilpotent ideal consisting of the invariant universal differential one-forms on P. When P is a principal comodule algebra, one can identify this ideal with the kernel of the multiplication map restricted to the algebra of the associated Ehresmann-Schauenburg quantum groupoid. Based on joint work with Tomasz Maszczyk.

Título ampliado: Grupos afines sobre un cuerpo k coiguales a k-álgebras de Hopf;
grupos afines sobre una variedad abeliana A coiguales a haces de Hopf sobre O_A.

Es bien sabido que para variedades afines, es lo mismo dar el objeto geométrico X o su álgebra de polinomios k[X] que es un objeto algebraico. La correspondencia inversa asocia al álgebra B el objeto geométrico Spec B.

Si el objeto geométrico es además un grupo G el objeto algebraico k[G] es un álgebra de Hopf y si H es un algebra de Hopf, Spec H es un grupo algebraco afín.

Esto vale para el tipo de objetos geométricos locales típicos de la geometría algebraica, las variedades afines.

Trabajando con familias más amplias de variedades, la situación es más compleja pero algunas de las herramientas básicas se pueden definir.
Trabajaremos en el contexto de ternas q : G --->A donde G es un esquema de grupos, A es una variedad abeliana y q es un morfismo afín de esquemas.
En la situación en que A conste solo de un punto estaremos en el caso anterior.

Adaptando una construcción de Grothendieck a este contexto, podemos reconstruir la correspondencia mencionada anteriormente entre grupos algebraicos afines y álgebras de Hopf.

A la terna (q,G,A) que se abrevia como G se le asocia P(G) que juega el papel que anteriormente jugaba k[G] y que es un haz casi coherente de O_A algebras, donde O_A es el haz estructural de A.
Recíprocamente a un haz casi coherente F de O_A algebras se le asocia una terna (q,Spec(F),A) que juega el papel del grupo G en el caso anterior.

El haz asociado a la terna (q,G,A) se llama un haz de Hopf.

Esta exposición es parte de un trabajo conjunto con Rittatore y del Angel, que apunta a desarrollar una teoría de representaciones de una terna (q,G,A) como la descripta arriba que generaliza la teoría de representaciones de los grupos algebraicos afines desarrollada y en gran parte culminada entre 1950-1980.

Sea G un grupo algebraico y H un subgrupo cerrado de G. Es claro que si G actúa en una variedad X, entonces H actúa también en X por restricción. Sin embargo, no está claro que uno pueda extender una acción de H en X a una de G. Una solución a este problema es "agrandar" X y hacer actuar G en esta nueva variedad Y, de modo que la acción de G en Y se restrinja a la acción original de H en X. En esta charla formalizaremos la idea anterior y veremos varios avatares de la construcción del "espacio inducido". Mostraremos algunas aplicaciones de la inducción de acciones, tanto al estudio de las acciones de grupos en variedades como a la teoría de invariantes.

Hablaré de los órdenes invariantes a izquierda en grupos, y de su relación con las acciones del grupo por homeomorfismos de la recta. Dado un grupo G, uno quiere saber si admite tales órdenes (si es ordenable), y en caso afirmativo, describirlos y saber "cuántos" hay. Se puede dar una topología al conjunto de órdenes de G, y se quiere clasificar este espacio, en particular, ver si hay órdenes aislados. Me enfocaré en el caso de los grupos libres y de los grupos fundamentales de superficies. Casi todos estos grupos son ordenables y no admiten órdenes aislados. Intentaré dar una idea de como obtener esto a partir de las acciones en la recta de dichos grupos.

En esta charla nos interesa la siguiente pregunta. Conociendo la acción de un grupo, que se puede deducir de su estructura algebraica y geométrica? Y recíprocamente, cuales son las restricciones que imponen la estructuras algebraica y geométrica de un grupo sobre sus posibles acciones en un espacio dado? Me interesará particularmente el caso de grupos actuando analiticamente en el círculo. Un ejemplo típico de resultado en esta dirección es un teorema de Ghys-Duminy: un grupo finitamente generado actua analiticamente en el círculo con un Cantor invariante es virtualmente libre.

El programa de Langlands predice conexiones profundas entre la geometría y las formas automorfas, que se codifican a través de funciones L y representaciones de Galois asociadas. El teorema de modularidad de curvas elípticas sobre Q es un caso importante de este programa, muy conocido por completar la demostración del "último teorema de Fermat". Recientemente ha habido algunos avances en el caso de superficies abelianas sobre Q. -- En esta charla voy a comenzar explicando el significado de modularidad en términos de representaciones de Galois, en el caso de curvas elípticas y en el caso de superficies abelianas. Para terminar presentaré un trabajo reciente [1] en el que demostramos la (para)modularidad de algunas superficies abelianas, mediante un algoritmo explícito para decidir si dos representaciones de Galois son equivalentes conociendo solamente sus trazas de Frobenius para una cantidad finita de primos. [1] Brumer-Pacetti-Poor-Tornaría-Voight-Yuen, On the paramodularity of typical abelian surfaces https://arxiv.org/abs/1805.10873

El programa de Langlands predice conexiones profundas entre la geometría y las formas automorfas, que se codifican a través de funciones L y representaciones de Galois asociadas. El teorema de modularidad de curvas elípticas sobre Q es un caso importante de este programa, muy conocido por completar la demostración del "último teorema de Fermat". Recientemente ha habido algunos avances importantes en el caso de superficies abelianas sobre Q. En la primera charla haré una introducción a la teoría de representaciones de Galois y modularidad. En la segunda charla presentaré un trabajo reciente [1] en el que demostramos la (para)modularidad de algunas superficies abelianas. [1] Brumer-Pacetti-Poor-Tornaría-Voight-Yuen, On the paramodularity of typical abelian surfaces https://arxiv.org/abs/1805.10873

Un resultado bien conocido de la teoría de grupos algebraicos afines (o mejor dicho de la teoría de esquemas en grupos afines) dice que la categoría de los esquemas en grupos afines sobre un cuerpo K es equivalente a la categoría de álgebras de Hopf conmutativas sobre K, de modo contravariante. Esta equivalencia permite probar de un modo bastante cómodo y elegante resultados interesantes de la teoría de invariantes. En esta charla mostraremos cómo generalizar las definciones y resultados anteriores para esquemas en grupos casi-compactos. Primero presentaremos los resultados clásicos y luego mostraremos las ideas detrás de esta generalización. Para ello, veremos como asociar a un esquema en grupos G un haz de O_A-módulos, donde A es una variedad abeliana --- un haz deHopf. Finalmente, mostraremos la utilidad de esta noción a la hora de establecer una categoría de representaciones para dichos grupos (trabajo en conjunto con P.L. del Ángel y W. Ferrer), gracias a la noción de comódulo de un Haz de Hopf. La charla será autocontenida, y se hará énfasis en las ideas y pruebas.

Un resultado bien conocido de la teoría de grupos algebraicos afines (o mejor dicho de la teoría de esquemas en grupos afines) dice que la categoría de los esquemas en grupos afines sobre un cuerpo K es equivalente a la categoría de álgebras de Hopf conmutativas sobre K, de modo contravariante. Esta equivalencia permite probar de un modo bastante cómodo y elegante resultados interesantes de la teoría de invariantes. En esta charla mostraremos cómo generalizar las definciones y resultados anteriores para esquemas en grupos casi-compactos. Primero presentaremos los resultados clásicos y luego mostraremos las ideas detrás de esta generalización. Para ello, veremos como asociar a un esquema en grupos G un haz de O_A-módulos, donde A es una variedad abeliana --- un haz deHopf. Finalmente, mostraremos la utilidad de esta noción a la hora de establecer una categoría de representaciones para dichos grupos (trabajo en conjunto con P.L. del Ángel y W. Ferrer), gracias a la noción de comódulo de un Haz de Hopf. La charla será autocontenida, y se hará énfasis en las ideas y pruebas.

Un fibrado de Fell sobre un grupo es una abstracción de la graduación de una C*-álgebra sobre dicho grupo. Toda C*-álgebra graduada define un fibrado de Fell. Definiremos las relaciones de equivalencia débil y fuerte entre fibrados de Fell, y mostraremos que todo fibrado de Fell es fuertemente equivalente al fibrado asociado a una acción parcial, y débilmente equivalente al fibrado asociado a una acción (global). Deduciremos de esto que las C*-álgebras asociadas a un fibrado de Fell son equivalentes Morita-Rieffel a productos cruzados globales y parciales. Este es tun rabajo conjunto con Alcides Buss y Damián Ferraro.

Sea R un anillo regular. El teorema de Bass-Heller-Swan asegura que el grupo K_{1} de R[t^{-1},t] es K_{0}(R) \oplus K_{1}(R). Veremos un enfoque de este teorema que ilustra herramientas de topología controlada utilizadas en la prueba de la conjetura de Farrell-Jones para algunos casos.

Las álgebras de Hopf generalizan a los grupos, luego es de esperar que tengan propiedades semejantes. Uno de los problemas clásicos de teoría de grupos es el de las extensiones. Dados dos grupos (finitos) H y K, decimos que un grupo G es una extensión de H por K, si G contiene (una copia de) H como subgrupo normal de forma tal que el cociente G/H es isomorfo a K. Lo que interesaría es, dados H y K, poder determinar todas las posibles extensiones de H por K. Este problema en general no se sabe resolver (si se pudiera, se conocerían todos los grupos finitos!), pero si el grupo K es abeliano, entonces se sabe que el conjunto de extensiones de H por K queda -a grandes rasgos- determinado por el segundo grupo de cohomología H^2(H,K). La generalización natural de este último caso, son las extensiones abelianas de álgebras de Hopf. En esta charla veremos en qué consisten, daremos una descripción cohomológica análoga a la que existe en grupos y veremos una sucesión exacta interesante. Estos son resultados de A. Masuoka de fines del milenio pasado, y estudiar una parte de esto fue el trabajo de monografía de Javier Cóppola. Si el tiempo lo permite, veré brevemente cómo usando la sucesión exacta anterior se obtiene una respuesta afirmativa a una pregunta que planteé en mi charla del año pasado. Mi idea es hacer la charla lo más elemental posible, introduciendo los temas a medida que se vayan necesitando. En particular no asumiré conocimientos de álgebra homológica (aunque espero motivarlos a su estudio).

Hablaré sobre un trabajo conjunto con Ana González y Gustavo Mata, donde estudiamos la existencia de estructuras nearly Frobenius en las álgebras string, las de radical cuadrado cero y las álgebras toupie. Están todos invitados a venir a las 13:00 para tomar un café antes del seminario

Los juegos infinitos han servido como herramienta en varias aplicaciones en lógica, combinatoria, y otras áreas. Lo que los hace interesantes en la teoría de la computabilidad es la alta complejidad que pueden llegar a tener las estrategias para juegos relativamente simples. En esta charla, describiremos estos juegos, tal vez juguemos un poco, y explicaremos los conocimientos básicos necesarios para entender la respuesta --- dada por el autor y Richard Shore --- a la siguiente pregunta: ¿Cuánta determinación de juegos puede demostrarse sin usar objetos no numerables? Los esperamos a las 13:00 para tomar un café antes de la charla.

En 2002 AES se convirtió en standard para encriptado simétrico de datos, luego de un largo proceso de varios años de discusión liderado por el NIST. Hasta el día de hoy no se conocen ataques que se puedan considerar prácticos para quebrar este algoritmo. Sin embargo, se han presentado ataques laterales ("side channel attacks") basado en análisis del consumo energético del cómputo que hace al encriptar en tarjetas inteligentes. Para defenderse frente a estos ataques, Claude Carlet sugirió usar como filtros funciones Booleanas inmunes a la correlación de alto orden y de menor peso de Hamming. Este es un problema difícil dado que en su generalidad, dados n y k, no se conoce cual es este peso mínimo para el cual existe una función inmune a la correlación de orden k con n variables. Más específicamente es un problema que está relacionado con la conjetura de Hadamard. En 2010 Carrasco, Le Bars y Viola presentaron un novedoso punto de vista combinatorio para caracterizar todas las funciones inmunes a la correlación de orden 1 y además dieron una enumeración combinatoria de estas funciones y presentaron algoritmos eficientes de generación aleatoria uniforme de estas funciones. En 2014 Carlet nos planteó el problema de generalizar nuestros métodos para estudiar dicho problema, que hasta el día de hoy no ha podido ser resuelto en su totalidad por métodos alternativos. En esta charla presentaremos avances en el tema, donde esperamos dentro de poco tener resultados completos y que tengan un impacto importante en la comunidad de funciones Booleanas con aplicaciones a la criptografía. Es trabajo en conjunto con Jean Marie Le Bars, Octavio Pérez-Kempner y Francisco Castro.

En esta charla recorremos las definiciones y algunos ejemplos de distintos tipos de sistemas de factorización en categorías (sistemas de factorización ortogonales y débiles). Varios de estos ejemplos provienen de la teoría axiomática de homotopía (categorías de modelos de Quillen). Introduciremos una noción intermedia entre las factorizaciones ortogonales y débiles de relevancia en el contexto de 2-categorías: las factorizaciones ortogonales laxas [M.M. Clementino and I. Lopez Franco, Lax factorisation systems. Adv. Math. 302 (2016)].

En esta charla me gustaría contarles sobre mi trabajo actual. En él estudio acciones de categorías monoidales a las categorías de representaciones de álgebras y pruebo un resultado en 2-categorías que codifica tales acciones dando una condición equivalente a ellas. También introduzco la noción de (co)quasi-bimónada en una 2-categoría y defino sus respectivas 2-categorías. Las 1-celdas sobre una 0-celda fija claramente definen categorías monoidales. A ellas agrego la estructura de (co)módulos sobre la (co)mónada subyacente en la (co)quasi-bimónada - noción que introduje en un trabajo previo - y pruebo que las categorías obtenidas son monoidales. Esto corresponde al hecho de que en categorías monoidales trenzadas las categorías de (co)representaciones de una (co)quasi-bialgebra son monoidales, pero aquí lo hago en términos 2-categóricos sin tener la trenza. Estudio acciones correspondientes de estas dos categorías monoidales y comparo los resultados específicos obtenidos con el marco general del primer resultado mencionado. Ellos presentan una generalización 2-categórica de resultados conocidos en la literatura en el contexto de módulos sobre anillos conmutativos. Por último estudio lo que en mis trabajos previos denominé "módulos de Yetter-Drinfel`d en 2-categorías", cómo ellos generan una categoría monoidal y cómo ésta actua sobre la categoría de módulos relativos provenientes de la 2-categoría base. Lo que obtengo generaliza un resultado reciente formulado en categorías monoidales trenzadas.

Describiremos brevemente los dos grandes problemas cl​á​sicos de la teor​í​a de invariantes​. El primer ​ ​ problema fundamental (nomenclatura de Hilbert) apunta a demostrar que los invariantes son finitamente generados como álgebra y el segundo problema fundamental, que las relaciones posibles entre los invariantes son generadas por un número finito de ellas. Hilbert resolvió el segundo problema completamente y en algunos casos particulares el primero (usando los métodos diferenciales) y Hurwitz otros casos del primero (usando métodos integrales). Ambos trabajaban en Konigsberg y los resultados fueron demostrados en la última década del siglo XIX. Weyl continuó la línea de trabajo de Hurwitz (pero para algunos resultados usó métodos diferenciales) y Nagata probó en 1964 que hay contraejemplos que imposibilitan la validez general del primer teorema fundamental. En caso de tener tiempo, mostraremos dos "modernizaciones" de ambos métodos (trabajo conjunto con Rittatore). Para los métodos integrales siguiendo las ideas de Mumford (1960-70) y para los diferenciales las de Cayley y Hilbert.