Una introducción a las conjeturas de Weil ​- Problemas abiertos en teoría de números ​4​

Dado un sistema de ecuaciones polinomiales sobre un cuerpo finito k, nos interesa estimar cuántas soluciones tiene con coordenadas en k, o más generalmente en todas las extensiones finitas de k. Estas cantidades aritméticas se combinan en una función generatriz análoga a la función zeta de Riemann. En línea con lo expuesto en las charlas de Gonzalo Tornaría sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, se espera que ciertas propiedades analíticas de esta función reflejen información aritmética sobre el sistema de ecuaciones. Esta función zeta fue introducida, para curvas, por E. Artin en su tesis (1921), donde conjeturó algunas propiedades que debería tener; entre ellas una suerte de "hipótesis de Riemann" sobre la ubicación de sus ceros. Estas conjeturas fueron probadas por A. Weil (1949), quien las extiende a variedades de dimensión mayor. Fueron motor del desarrollo de la cohomología etale de Grothendieck (1960's), que permitió probar parte de las conjeturas. Finalmente la hipótesis de Riemann fue demostrada por Deligne (1974), lo que le valió la medalla Fields. En esta charla introduciremos la función zeta, la calcularemos en algunos ejemplos, enuncia remos las conjeturas de Weil y algunas de sus consecuencias, y explicaremos qué motivó a Weil a creer en ellas.