Seminario de EDPs y Afines (IMERL)

Adjunto.

Resumen adjunto.

La formulación mixta del problema de Poisson clásico consiste en introducir un flujo como nueva variable con condiciones de borde adecuadas, obteniendo un sistema de ecuaciones acopladas. Usando identidades del cálculo fraccionario, en este trabajo exploramos una formulación mixta del problema de Poisson fraccionario y probamos que el problema está bien planteado. Una discretización directa del problema no es posible, por lo que siguiendo ideas de Hughes y Masud introducimos una formulación estabilizada, que da lugar a un problema coercivo y bien planteado. La coercividad implica que cualquier discretización por elementos finitos conforme sea estable. Por último, obtenemos la convergencia de estas discretizaciones y discutimos su implementación.

Para atacar un problema puede ser útil mirarlo de lejos, o sea, mirar las cosas desde un punto de vista más general para no perdernos en los detalles particulares, teniendo así una imagen más global del asunto. La idea de esta charla es hacer esto pero con los operadores diferenciales, dando paso así a los operadores pseudodiferenciales (ψDO). La clave es que la teoría de operadores pseudodiferenciales nos da una forma sistemática de encontrar inversas de operadores elípticos. A partir de esto se pueden obtener resultados fuertes sin mucho esfuerzo, como por ejemplo regularidad elíptica. Lo anterior lo haremos en R^n, pero seguro le dedicamos unas palabras a estos conceptos en variedades, pudiendo relacionar a los operadores pseudodiferenciales con problemas que no son de EDP.

Contact problems play a central role in various mechanical structures and are highly relevant in hydrostatics and thermostatics. These issues arise in everyday situations, such as the interaction of braking pads with wheels, tires with roads, and pistons with skirts, as well as in common industrial processes like metal forming and metal extrusion.

The primary objective of my talk is to explore finite element methods applied to both frictional and frictionless contact problems. This study focuses on contact problems characterized by various conditions, including the Signorini non-penetration condition and normal compliance condition, while modeling frictional force using Coulomb’s law of dry friction and Tresca friction laws. Variational inequalities, representing the variational formulations of contact problems, serve as powerful tools in the mathematical analysis of these models.

During the presentation, we will delve into both elliptic and parabolic variational inequalities. Regarding elliptic variational inequalities, our examination will include the Signorini contact problem and the frictional contact problem with normal compliance. In the domain of parabolic variational inequalities, I will provide an overview of the quasi-static contact problem.

The regularity of the solution plays a crucial role in determining the qualitative behaviour of the approximation. However, there are instances where the solution to variational inequalities exhibits irregularities due to factors such as the presence of free boundaries and reentrant corners within the domain. To address this, we aim to develop a rigorous theoretical framework to establish a posteriori error estimates and obtain convergence rates for some variational inequalities. These estimates quantify the accuracy of the numerical approximation and offer essential insights for evaluating the reliability of computed solutions. The theoretical findings will be substantiated by numerical investigations.

En esta charla abordaremos el enfoque para la resolución numérica de ODEs que está basado en la construcción de tubos de trayectorias (o flowpipes) utilizando ciertos conjuntos de R^n para representar el espacio de soluciones (en inglés, el área se conoce como set-based reachability analysis). Se trata de un método de solución exhaustivo, motivado por aplicaciones latentes en las áreas de la verificación formal, la síntesis de controladores y la estimación de parámetros, entre otras.

Examinaremos los tipos de representación de conjunto más utilizados y explicaremos de qué forma se ha resuelto el desafío numérico de la escalabilidad computacional para sistemas lineales. Veremos que la función de soporte, muy estudiada en el análisis convexo pero no así en relación a los métodos de integración tradicionales, juega un papel fundamental. Por último, se presentará un resultado que muestra cómo extender el enfoque para cierta clase de EDPs.

Desde mediados del siglo XIX ha surgido un enorme y creciente interés por parte de matemáticos y físicos por estudiar las soluciones más simples para un modelo dispersivo, dichas soluciones son conocidas hoy como ondas viajeras. Las ondas viajeras existen como consecuencia de un equilibrio entre los efectos dispersivos y no lineales presentes en un sistema; estas ondas viajan con una velocidad constante, sin ninguna evolución temporal en forma o tamaño cuando el marco de referencia se mueve con la misma velocidad de la onda. Las investigaciones han demostrado que este tipo de soluciones especiales aparecen en diversos campos, como la mecánica de fluidos, la acústica, la óptica, la oceanografía, entre otros. 

La ecuación Korteweg de Vries (KdV) es un modelo matemático encargado de describir el comportamiento de las ondas viajeras. Esta ecuación es una de las ecuaciones diferenciales parciales dispersivas cuasilineales más conocidas. La relevancia de este modelo se debe, no solo, a la teoría matemática que involucra su estudio y el número de problemas abiertos asociados que aún persisten, sino a lo sugestiva que resulta a la hora de abordar problemas relacionados.

Un problema resultante del estudio de la ecuación KdV es  considerar  el caso donde sus coeficientes sean variables, dicho problema es consecuencia de considerar un fondo variable del canal. Otro camino para llegar a este problema es tener en cuenta la tensión superficial a la hora de deducir el modelo, ya que los coeficientes de la ecuación diferencial parcial (edp) dependen de la altura, la densidad del fluido y la tensión superficial. El propósito de la charla  es enseñar  un análisis teórico sobre la existencia y unicidad de soluciones para el problema de Cauchy asociado a la ecuación KdV con coeficientes dependientes del tiempo.

Ver pdf adjunto.

En ciertas clases de análisis por elementos finitos, los elementos de orden bajo con la formulación clásica en desplazamientos presentan problemas numéricos que dan lugar a resultados que no son correctos. En esta conferencia se aborda específicamente el problema del bloqueo por incompresibilidad, que aparece al analizar los sólidos y fluidos que se deforman sin cambiar de volumen: tejidos biológicos con alto contenido de agua (tejidos blandos), gomas, cauchos, líquidos en general, etc.

En cuanto al contenido de la conferencia, en ella se describe el problema de bloqueo por incompresibilidad y por flexión, se justifica porqué lo sufren los elementos isoparamétricos de orden bajo y se explican diversas tecnologías de elementos finitos que lo evitan y que actualmente están implementadas en la mayoría de los códigos comerciales: formulaciones mixtas, integración selectiva, control de ``hourglass'', formulación $\bm{\overline{B}}$ y modos incompatibles. Para facilitar la comprensión de este tema se incluyen en la conferencia diversas simulaciones computacionales representativas.