Seminario de EDPs y Afines (IMERL)

Desde mediados del siglo XIX ha surgido un enorme y creciente interés por parte de matemáticos y físicos por estudiar las soluciones más simples para un modelo dispersivo, dichas soluciones son conocidas hoy como ondas viajeras. Las ondas viajeras existen como consecuencia de un equilibrio entre los efectos dispersivos y no lineales presentes en un sistema; estas ondas viajan con una velocidad constante, sin ninguna evolución temporal en forma o tamaño cuando el marco de referencia se mueve con la misma velocidad de la onda. Las investigaciones han demostrado que este tipo de soluciones especiales aparecen en diversos campos, como la mecánica de fluidos, la acústica, la óptica, la oceanografía, entre otros. 

La ecuación Korteweg de Vries (KdV) es un modelo matemático encargado de describir el comportamiento de las ondas viajeras. Esta ecuación es una de las ecuaciones diferenciales parciales dispersivas cuasilineales más conocidas. La relevancia de este modelo se debe, no solo, a la teoría matemática que involucra su estudio y el número de problemas abiertos asociados que aún persisten, sino a lo sugestiva que resulta a la hora de abordar problemas relacionados.

Un problema resultante del estudio de la ecuación KdV es  considerar  el caso donde sus coeficientes sean variables, dicho problema es consecuencia de considerar un fondo variable del canal. Otro camino para llegar a este problema es tener en cuenta la tensión superficial a la hora de deducir el modelo, ya que los coeficientes de la ecuación diferencial parcial (edp) dependen de la altura, la densidad del fluido y la tensión superficial. El propósito de la charla  es enseñar  un análisis teórico sobre la existencia y unicidad de soluciones para el problema de Cauchy asociado a la ecuación KdV con coeficientes dependientes del tiempo.

Ver pdf adjunto.

En ciertas clases de análisis por elementos finitos, los elementos de orden bajo con la formulación clásica en desplazamientos presentan problemas numéricos que dan lugar a resultados que no son correctos. En esta conferencia se aborda específicamente el problema del bloqueo por incompresibilidad, que aparece al analizar los sólidos y fluidos que se deforman sin cambiar de volumen: tejidos biológicos con alto contenido de agua (tejidos blandos), gomas, cauchos, líquidos en general, etc.

En cuanto al contenido de la conferencia, en ella se describe el problema de bloqueo por incompresibilidad y por flexión, se justifica porqué lo sufren los elementos isoparamétricos de orden bajo y se explican diversas tecnologías de elementos finitos que lo evitan y que actualmente están implementadas en la mayoría de los códigos comerciales: formulaciones mixtas, integración selectiva, control de ``hourglass'', formulación $\bm{\overline{B}}$ y modos incompatibles. Para facilitar la comprensión de este tema se incluyen en la conferencia diversas simulaciones computacionales representativas.