El problema de Dirichlet en un árbol

El problema de Dirichlet en un dominio acotado consiste en que dada una función continua en el borde, se encuentre una función armónica en el interior del dominio que extienda a la función en el borde. Bajo condiciones bastante generales sobre la regularidad del dominio se prueba que este problema tiene solución. En particular, la solución se puede construir utilizando el movimiento browniano (fórmula de Feymann-Kac estacionaria).

En la charla voy a presentar el problema de Dirichlet vinculado a un operador de tipo Laplaciano en un árbol. El operador se define mediante una fórmula de valor medio donde se le da peso $\beta$ al antecesor y $(1-\beta)/m(x)$ a sus sucesores, donde $m(x)$ es el número de descendientes del vértice x. Bajo ciertas condiciones en $\beta$ y la condición de borde, se demuestra que el problema de Dirichlet tiene una solución única, y lo más importante: se tiene una fórmula explícita para la solución que, en algún sentido, se parece a una fórmula de Feymann-Kac. Si nos da el tiempo, discurriremos sobre algunos tipos de aleatorización de este problema.