El problema de Dirichlet y la fórmula de Feymann-Kac en un árbol

Vamos a estudiar el problema de Dirichlet vinculado a un operador de tipo Laplaciano en un árbol. El operador se define mediante una fórmula de valor medio donde se le da peso $\beta$ al antecesor y $(1-\beta)/m(x)$ a sus sucesores, donde $m(x)$ es el número de descendientes del vértice x. Bajo ciertas condiciones en $\beta$ y la condición de borde, demostramos que el problema de Dirichlet tiene una solución única, y lo más importante: se tiene una fórmula explícita para la solución que, en algún sentido, se parece a una fórmula de Feymann-Kac. En una segunda parte de la charla, vamos a comparar la solución al problema de Dirichlet entre un árbol de Galton-Watson con media $m$ (entera) y la solución al mismo problema en el árbol regular con $m$ hijos.