Seminario de Sistemas Dinámicos

El objetivo de esta charla es discutir algunas relaciones entre la geometría y la teoría de los números encontradas en espacios hiperbólicos aritméticos, principalmente a través del estudio de geodésicas cerradas en el espacio.

The goal of this talk is to reformulate this property in terms of the periods of the flow and to explain for which manifolds the mixing property is an open question.

I will start the proof of the conjecture of Ramagge Steger and Robertson providing the best polynomial of the property of rapid decay for groups acting simply transitively on A2 buildings. 

It will be indeed a proof using many tools well understood in the case of negative curvature such as Busemann functions, Gromov products, shadow lemma etc etc.

The method is based on boundary representation corresponding of the action of the group on the Furstenberg boundary of the A2 buildings.

Según el trabajo de Eliashberg en dimensión 3 y de Borman—Eliashberg—Murphy en dimensiones superiores, existen dos tipos de estructuras de contacto: tight (geométricas/rígidas) y overtwisted (topológicas/flexibles). Las estructuras de contacto tight son mucho más difíciles de clasificar que las overtwisted (que satisfacen un h-principio y, por lo tanto, son abundantes). Una forma de entender las estructuras tight es a través de sus rellenos simplécticos.

En esta charla, explicaré cómo en la dimensión al menos 5, la esfera de dimensión impar admite estructuras de contacto que son exóticas desde el punto de vista simpléctico, es decir, son tight pero no admiten ningún relleno simpléctico. Esto contrasta marcadamente con el caso tridimensional, ya que Eliashberg demostró que hay una estructura de contacto tight única en la esfera tridimensional (que se puede rellenar).

Por último, comentaré las aplicaciones a la topología arbitraria. Esto se basa en trabajo conjunto con Jonathan Bowden, Fabio Gironella y Zhengyi Zhou.

Esta charla responderé a la siguiente pregunta: dado un polígono regular y una trayectoria (ideal) de billar que parte del centro del polígono y alcanza un vértice, ¿es cierto que la trayectoria «inversa» que parte del centro pero en sentido contrario también alcanza un vértice?
Cuando n es par, esto es obviamente cierto, por simetría, pero cuando n es impar la cuestión es más difícil, y para responderla introduciremos métodos geométricos relacionados con superficies de traslación) y teoría de números (fracciones continuas en grupos de Hecke).

I Will discuss property RD concerning discrete groups and boundary representation for trees, and A2 buildings. After having introduced property RD, the notion of buildings together with the questions related to thèse notions, I will try to explain how the action of a discrete Group on the Furstenberg boundary of a tree or a A2 building gives new estimates for property RD. This Will provide a new dynamical point of view of important questions in this area.
Joint work in progress with Thang Nguyen.

La emergencia de un sistema dinámico es una medida cuantitativa de qué tan lejos está dicho sistema de ser ergódico. En este seminario, investigaremos la emergencia de algunos ejemplos paradigmáticos: flujos cuyas órbitas son todas periódicas. Estos ejemplos son de particular interés porque, al contrario del caso discreto (si un homeomorfismo tiene todas sus órbitas periódicas, entonces debe ser una potencia de la identidad),  existen ejemplos de flujos en variedades compactas cuyas órbitas son todas periódicas, pero con períodos arbitrariamente grandes.

En esta charla, exploraremos avances en la teoría de sistemas dinámicos continuos a trozos (piecewise continuous maps o PCM en inglés), enfocándonos en cómo las estructuras topológicas y métricas 
en este espacio contribuyen a comprender aspectos dinámicos clave. En este sentido, analizaremos varias topologías sobre el espacio de PCM, las cuales introducen conceptos de perturbación relevantes desde una 
perspectiva dinámica. Comparar estas topologías nos permite establecer criterios precisos al elegir un concepto de perturbación, facilitando incluso la generalización de ciertos resultados basados --por 
ejemplo-- en la convergencia inducida por la topología.
Como aplicación concreta, discutiremos la inestabilidad estructural en mapas contractivos a trozos del intervalo que exhiben dinámicas asintóticas no periódicas. Este resultado se fundamenta en una generalización del {\it closing lemma}, el cual se extiende naturalmente a otras topologías más gruesas.