La tasa de crecimiento de órbitas periódicas para mapas de Thurston con orbifolds no hiperbólicos

Sea $f: S^2 \to S^2$ una función contínua de grado $d$, $|d|>1$, y sea $N_nf$ el número de puntos fijos de  $f^n$. Mostramos que si $f$ es un mapa de  Thurston con orbifold no hiperbólico, entonces o bien la desigualdad $\limsup \frac{1}{n} \log N_nf\geq \log |d|$ vale para $f$ o sino $f$ tiene exactamente dos puntos críticos totalmente invariantes.

Un mapa de Thurston es simplemente un cubrimiento ramificado de la esfera tal que el conjunto poscrítico es finito (el conjunto poscrítico son todos los iterados futuros de los puntos críticos).  Si $f$ tiene exactamente dos puntos críticos totalmente invariantes (el poscrítico son solo dos puntos), es fácil ver que la desigualdad no se cumple porque se pueden hacer ejemplos sin otros puntos periódicos (tipo un norte sur con grado d). Lo que probamos entonces es que para mapas de Thurston con orbifold no hiperbólico, esta es la única obstrucción para que se verifique la desigualdad, y además la obstrucción es topológica: el complemento del conjunto poscrítico de $f$ es un anillo.

Tener orbifold no hiperbólico se corresponde con algunas combinatorias muy especiales del conjunto poscrítico que voy a explicar, y además voy a mostrar por qué si el poscrítico de estos mapas tiene por lo menos tres puntos, entonces hay crecimiento exponencial de órbitas periódicas.

A modo anecdótico pero no voy a hablar de esto en la charla: cuando el orbifold es hiperbólico (que es casi siempre) no sabemos lo que hacer, solo tenemos un teorema para cuando el mapa es "tipo un polinomio" y tiene un conjunto K totalmente invariante ("tipo un Julia")  localmente conexo.