Pérdida de dimensión para medidas armónicas de caminatas de rango finito en grupos convexo cocompactos

Una medida de probabilidad en un espacio métrico X "pierde dimensión" si le da medida total a un Boreliano cuya dimensión de Hausdorff es estrictamente menor a la de X.    El fenómeno de "pérdida de dimensión" es la observación de que en diferentes contextos algunas medidas "naturales" construidas por un proceso "local" pierden dimensión.

Algunos resultados que demuestran que se produce este fenómeno son:

1. El teorema de Makarov de la década del 80, sobre dimensión de medidas armónicas de dominios de Jordan.
2. El teorema de Lyons, Pemantle, y Peres de los 90, sobre dimensión de medidas armónicas de caminatas al azar en árboles de Galton-Watson.
3. El teorema de Gouezel, Matheus, y Maucourant de 2018, sobre medidas armónicas para caminatas simétricas de rango finito en grupos hiperbólicos.

En el contexto de grupos de matrices la conjetura de Kaimanovich y LePrince (2010) dice que se da el fenómeno de dimensión para medidas finitamente soportadas cuyo soporte genera un grupo discreto.  Sin la condición de que el grupo sea discreto existen contraejemplos debidos a Bourgain, Benoist y Quint.

Voy a presentar un trabajo en curso con Ernesto García donde demostramos que se da el fenómeno de pérdida de dimensión para medidas asociadas a caminatas al azar de rango finito en grupos Fuchsianos convexo cocompactos.  El resultado análogo para grupos de co-volumen finito pero no co-compactos es conocido (Guivarc'h, Le Jan, Tiozzo), mientras que el caso co-compacto es una problema abierto donde ha habido progreso reciente (Carrasco, Paquette, Kosenko, Tiozzo).