Seminario de Sistemas Dinámicos - Año 2023

Given an irrational rotation, it is straightforward to see that for every Cantor set C, there is a dense set of points whose orbit doesn't intersect C. On the other hand, if C is a fat Cantor set (that is, of positive Lebesgue measure), almost every point visits C with a frequency equal to the measure of C. But what other frequencies of visits to C may occur? In the words of a recent MathOverflow post [1], what is the Birkhoff spectrum of fat Cantor sets?

We give a first answer to this question by showing that every irrational rotation allows for certain fat Cantor sets C whose Birkhoff spectrum is maximal, that is, equal to the interval [0,Leb(C)]. In this talk, I will focus on discussing some of the basic tools behind this result and extensions of it.

[1] D. Kwietniak, Possible Birkhoff spectra for irrational rotations, MathOverflow (2020), https://mathoverflow.net/q/355860 (version: 2020-03-27).

We consider the action of discrete finitely generated subgroups of matrices on the space of flags. Under hyperbolicity and non-degeneracy conditions, we can estimate the dimension of minimal invariant sets. The proofs use properties of random walks on the group. This is joint work with Pablo Lessa.

Voy a hablar de un trabajo en curso con Alejo Garcia y Pierre-Antoine Guiheneuf.

Para un homeo isotópico a la identidad en una superficie hiperbólica, mostramos que los puntos genéricos cuyas trayectorias se enrollan en la superficie, lo hacen en dirección de una laminación geodésica.

Voy a dar una clasificación de las clausuras horocíclicas en una superficie geométricamente finita (es decir, con grupo fundamental finitamente generado) con una métrica de curvatura no positiva. La topología del horociclo depende de si el rayo geodésico asociado es divergente o no, y en caso de ser divergente, del tipo de final por el qué diverge y del ángulo con el que lo hace. En curvatura no positiva existen cuatro tipos de finales tubulares, por los dos de la curvatura estrictamente negativa (cusp y funnel), lo que produce algunos fenómenos nuevos que intentaré explicar durante la charla.

En los años 90 Benoist introduce la noción de cono límite de un subgrupo discreto de matrices. Recordemos que toda matriz (invertible) tiene una descomposición de Jordan en una parte "elíptica" (diagonalizable sobre C con vp de módulo 1), una parte triangular superior ("parabólica"), y una parte diagonalizable sobre R ("hiperbólica" o "loxodrómica"). El cono límite de Benoist es un objeto que contiene, para nuestro grupo discreto \Gamma, todas las partes hiperbólicas de los elementos de \Gamma.

En la charla intentaremos explicar porqué este concepto juega un papel tan central en el estudio de los subgrupos discretos de grupos de Lie, así como generalizaciones de este a las variaciones de representaciones.

We will elaborate on two recent results obtained in collaboration with Hélène Eynard-Bontemps (Inst. Fourier, Grenoble):
- The space of Z^d actions by C^{1+ac} diffeomorphisms of a compact 1-manifold is path-connected;
- The space of Z^d actions by C^2 diffeomorphisms of the interval is connected.
Here, "ac" stands for absolutely continuous. I will deeply comment on several technical problems when dealing with these properties: Mather's homomorphisms, failure of Sternberg's linearization theorem, etc. Several questions will be addressed along the talk.

In this talk we will study a dynamical property called uniform expansion— this property tells us that a system is, on average, expanding everywhere. An in-prep work of Brown, Eskin, Filip, and Rodriguez Hertz proves strong Ratner-like orbit and measure classification theorems specific to this class of random walks. With motivation from this work, we ask and answer a few natural questions, building on the work of Potrie: how common are uniformly expanding random walks, and in what settings can they exist?

Mostramos algunos resultados recientes sobre aplicaciones de la homología asintótica  a la teoría de gráficos Lagrangianos, entre ellos la relación que existe entre la homología asintótica de gráficos Lagrangianos tridimensionales y el número de rotación de Franks de homeomorfismos en el toro bidimensional.

La charla tendrá una primera parte introductoria de la teoría variacional Lagrangiana y el origen de los problemas de Birkhoff para gráficos Lagrangianos invariantes, versiones Lagrangianas de los teoremas de Birkhoff para twist maps del anillo que preservan área.

En esta charla consideramos medidas de probabilidad ortogonalmente invariantes en GL_n (R) y comparamos el promedio de los logaritmos de los módulos de los valores propios de matrices con los exponentes de Lyapunov de productos de matrices aleatorias i.i.d. (con respecto a la medida elegida). La idea es mostrar que lo segundo es una cota inferior para lo primero.

Además de rever algunos conceptos y resultados clásicos en teoría ergódica y sistemas dinámicos, la idea es mostrar el interés de obtener este tipo de resultados. Si el tiempo lo permite, contaré los ingredientes de la prueba.

(Trabajo en colaboración con G. Chinta (CUNY), S. Sahi (Rutgers), M. Shub (CCNY).)

Sea S una superficie compacta, sin borde, orientable y de género g mayor que 1. Una estructura hiperbólica en S es un atlas de cartas al plano hiperbólico tal que los cambios de cartas son isometrías. El espacio de Teichmüller de S es el espacio de estructuras hiperbólicas en S, módulo isotopías. Este espacio admite una topología natural (homeomorfa a R^{6g-6}), pero soporta distintas geometrías: la de Teichmüller, la de Weil Petersson, la de Thurston. En esta charla nos concentraremos en la tercera, discutiendo un resultado de Thurston que brinda ejemplos explícitos de algunas de sus geodésicas. Luego discutiremos avances de un proyecto en progreso junto a X. Dai, B. Pozzetti y A. Wienhard en donde intentamos generalizar estos resultados al espacio de superficies proyectivas (es decir, cuando permitimos que nuestras cartas locales tengan por codominio el plano proyectivo).

Al principio de la década de 2000, Labourie comenzó a estudiar las propiedades dinámicas del espacio de k-superficies, es decir, superficies completas de curvatura extrínseca constante en 3-variedades de curvatura negativa, presentándolas como análogos del flujo geodésico en dimension mayor. En esta charla, siguiendo los trabajos recientes de Calegari-Marques-Neves, introducimos una entropía para el conteo asintótico de subgrupos de superficies según el área de las k-superficies que las representan. Establecemos una cota inferior y demostramos un resultado de rigidez cuando se alcanza el mínimo. La prueba implica la resolución de problemas de Plateau foliados en variedades de curvatura negativa. Es una colaboración con Ben Lowe (Chicago) y Graham Smith (Rio de Janeiro).

El conjunto límite del grupo Fuchsiano subyacente a una superficie hiperbólica nos proporciona información  sobre la topología de las trayectorias geodésicas y horocíclicas. El objetivo de esta charla es dar una clasificación de los puntos límite a partir del comportamiento de los rayos geodésicos que dirigen a estas direcciones, así como presentar una clase general de superficies hiperbólicas con un tipo de puntos límite que da lugar a dinámicas inusuales, tanto para el flujo geodésico como para el flujo horocíclico. Veremos como construir ejemplos sencillos en los que aparecen este tipo de geodésicas y estudiaremos sus propiedades en este caso.

A grandes rasgos, la regularidad crítica de un grupo G en una variedad M, es el parámetro optimo “s“ para la que se puede obtener una acción fiel de G en M por difeomorfismos de clase C^s. En esta charla voy a dar un panorama general sobre este tema, pasando por varios problemas abiertos. También voy a contar un trabajo en conjunto con C. Rivas, en donde se caracteriza la regularidad crítica en el intervalo compacto de algunas clases de grupos nilpotentes (en términos de sus subgrupos abelianos maximales).

Para un sistema mecánico, el Teorema de Lagrange-Dirichlet establece la estabilidad de Lyapunov de mínimos estrictos del potencial. Sin embargo, la conjetura sobre el recíproco de este teorema en la clase de potenciales reales analíticos permanece abierta en dimensión mayor a dos del espacio de configuración. Más aún, no hay resultados generales (es decir sin otras hipótesis además de la real analiticidad del potencial y dimensión del espacio) de inestabilidad de Lyapunov en dimensión mayor a dos. En esta charla mostraré un resultado general de inestabilidad para mínimos no estrictos de potencial en dimensión tres. Este es un trabajo en colaboración con Miguel Paternain.

Hablaré de un trabajo en curso con François Ledrappier. Usando caminatas al azar, obtenemos cotas superiores e inferiores para la dimensión de Hausdorff de ciertos fractales, asociados a representaciones de grupos hiperbólicos en SL(d,R).

Hablaré un poco sobre superficies no compactas de curvatura negativa variable, y daré las definiciones necesarias para poder enunciar un resultado acerca del comportamiento de las órbitas horocíclica y geodésica de ciertos vectores en el tangente unitario de estas superficies. Intentaré contar la prueba con todo el detalle que el tiempo me permita. 

Decimos que un difeomorfismo parcialmente hiperbólico f es un 'flujo de Anosov discretizado' si existe un flujo X_t, con cierta regularidad, y una función continua y positiva t, de forma tal que para todo x el punto f(x) se obtiene como el tiempo t(x) de x por el flujo X_t.

El objetivo de esta charla será compartir avances en la línea de una respuesta afirmativa a la siguiente pregunta: ¿Si f es un parcialmente hiperbólico tal que f(W)=W para toda hoja W de una foliación central unidimensional, es f un flujo de Anosov discretizado?

Un ''quotient of torus endomorphism'' (qote) se define como un mapa f de la esfera S^2 en sí misma tal que existe un cubrimiento F del toro T^2 en sí mismo de grado mayor que 1 y un cubrimiento ramificado \pi del toro en la esfera tal que (f o \pi)= (\pi o F). Notar que un tal f no es invertible; tiene ramificaciones y grado igual al de F (en particular, mayor que 1).

Asociado a un quote hay un órbifold O_f sobre la esfera que, en cierta forma, guarda información de la ramificación de f. Cuando la característica de Euler del órbifold es nula, se dice que el órbifold es parabólico, y cuando es negativa, se dice que es hiperbólico.

Los ejemplos de qotes conocidos hasta ahora tienen órbifold parabólico, y estaba planteada la pregunta si esta propiedad era cierta para qotes en general. Con Juliana damos una respuesta afirmativa, y la charla se trata sobre las ideas que hay detrás de la prueba.

Nos interesa entender la geometría de las curvas que se obtienen al intersectar dos foliaciones transversas en una 3-variedad. Tenemos pocos resultados, algunos ejemplos y muchas preguntas. Es un trabajo conjunto con S. Fenley. 

Daremos un panorama de lo que se conoce sobre la conjetura de la estabilidad para flujos geodésicos en variedades compactas, y en particular para variedades compactas sin puntos conjugados. La conjetura es un problema abierto para flujos geodésicos porque la demostración de R. Mañé para difeomorfismos (extendida para flujos en general y para ciertas familias de flujos como los Hamiltonianos), depende del closing lemma C1 que no es conocido para flujos geodésicos.

Elementos de distorsión en el grupo de difeomorfismos de la esfera

La cohomología de Orlicz es un invariante de cuasi-isometría que puede construirse de diferentes maneras dependiendo del contexto en el que se trabaje. Algunas de ellas son análogas a nociones clásicas de cohomología, como por ejemplo la cohomología simplicial y la cohomología de De Rham. El Teorema de De Rham muestra la equivalencia entre estas dos nociones.

En esta ocasión hablaré de la versión para la cohomología de Orlicz de este teorema clásico, centrándome en la estrategia de la prueba, que suele funcionar para ese tipo de resultados.

Este trabajo es una generalización de un resultado probado en mi tesis de doctorado, por lo que tal vez resulte interesante contar qué obstáculos aparecieron en ese entonces en el caso general y cómo se solucionaron posteriormente.

El estudio de la dinámica en el anillo nació junto con la teoría del caos: en el contexto hamiltoniano mediante el trabajo de Poincaré sobre el problema de los tres cuerpos y en el entorno disipativo mediante el estudio de la ecuación de Van der Pol que surge en problemas de los circuitos eléctricos (en los que también participó Poincaré). Desde entonces, muchos ejemplos importantes procedentes de distintas áreas se reducen a la dinámica anular discreta, y el problema habitual es decidir si tal sistema es integrable o caótico.

Aunque la comprensión matemática del caos topológico es hoy en día clara (apoyándose en algunos modelos de renombre), este importante problema encuentra todavía una respuesta débil. Aquellos sistemas que surgen en aplicaciones y que encuentran una prueba matemática de la existencia del caos son increíblemente escasos y, por lo general, es necesario restringir el conjunto de parámetros para que el sistema se aproxime a un modelo "integrable". En cambio, hay una lista incontable de simulaciones numéricas de sistemas que se toman como "evidencia" del caos.

En esta charla comentaremos la evolución de este problema a la vista de la teoría topológica de la dinámica de superficies y presentaremos un resultado conjunto con Fabio Tal que, esperamos, suponga un avance sustancial. En particular, este resultado crea un puente que puede convertir simulaciones numéricas de sistemas dinámicos en pruebas rigurosas de la existencia del caos anular.

Given two continuous self-maps f and g on the interval which have all periodic orbits in common, it is natural to ask whether f=g on the closure of the periodic points (which is known to coincide with the closure of the recurrent points!).

We show this is the case wherever orbits with prime periods are dense. Specifically, we show that mixing interval maps are uniquely determined by their periodic orbits. We discuss some consequences of our result and are open to feedback as this is very much a work in progress.

Joint work with Maik Gröger and Alejandro Passeggi.

Los sistemas expansivos han sido largamente estudiados en Uruguay, en particular por Jorge Lewowicz, quien clasificó estos cuando el espacio es una superficie. Los sistemas parcialmente hiperbólicos también han sido un tema largamente estudiado en nuestro país. En esta charla hablaremos de los sistemas que son a la vez expansivos y parcialmente hiperbólicos, y daremos condiciones para que sean de tipo Anosov. Es un trabajo en conjunto con José Vieitez.

La mayoría de las interacciones entre los sistemas dinámicos y la teoría de álgebras de operadores recae en un tipo de estructuras conocidas como productos cruzados. Esta construcción es una álgebra no conmutativa cuyas operaciones, en algún sentido, codifican la acción de un grupo en un espacio.

Concretamente, estudiaremos está construcción para la acción de Z en un espacio compacto Hausdorff X a través de la iteración de un homeomorfismo. Por distintos motivos, en el contexto de álgebras de operadores, el tipo de productos cruzados que han sido estudiados han sido C*-álgebras. Sin embargo, esta construcción puede hacerse para álgebras con una norma de tipo $\ell^1$, las cuáles poseen una estructura más rica en varios sentidos. Para ambos tipos de productos cruzados, se tiene que contienen canónicamente al álgebra C(X) de funciones continuas de X a C.

En esta monografía veremos cómo, para los dos tipos de productos cruzados descritos arriba, distintas propiedades dinámicas se ven reflejadas como propiedades analítico-algebraicas del álgebra correspondiente. Veremos que la densidad de los puntos no periódicos, la minimalidad y la transitividad del sistema dinámico equivalen a que C(X) sea una subálgebra abeliana maximal, a la simplicidad y a la primalidad del producto cruzado, respectivamente. Por último, trataremos de relacionar las estructuras de ideales de los productos cruzados C* y $\ell^1$.

Voy a intentar explicar algunos ingredientes de un trabajo reciente junto a A. Eskin y Z. Zhang (https://arxiv.org/abs/2302.12981) que intenta describir la geometría de las laminaciones estable e inestable fuertes de un difeomorfismo parcialmente hiperbólico y cuantificar su falta de integrabilidad conjunta (noción que definiré en la charla). El trabajo busca aplicar resultados recientes de rigidez de medidas que intentaré motivar a través de la discusión de resultados análogos en dinámica homogénea. Si el tiempo lo permite contaré una consecuencia de nuestros resultados (junto a A.Avila, S. Crovisier, A.Eskin, A. Wilkinson y Z.Zhang) al aplicarlos a difeomorfismos de Anosov de T3 que tiene mucha relación con lo que contó Sebastien hace algún tiempo.

This is an ongoing joint work with Pablo Lessa.
We consider a random walk on a group of matrices. Under suitable assumptions, Oseledets Theorem yields numbers (the Lyapunov exponents) and a random splitting into so-called Oseledets subspaces.
This splitting defines a (random) point in a product of Grassmannians. Our Main result is that the distribution of this point is an exact-dimensional measure. The dimension has a geometric interpretation in terms of the exponents and some partial entropies.

Some years ago, Michael Hutchings proved that the Calabi invariant of an irrational pseudo rotation of the disk is equal to its rotation number. The proof uses Embedded Contact Homology theory. We give a proof that uses finite dimensional arguments, related to the dynamical study of the gradient field of a generating function.

We study homeomorphisms of surfaces,with emphasys the annulus, trying to characterize when the associated dynamical system has positive topological entropy in the presence of points having different rotation numbers. We describe some previous results and we show that any homeomorphism of the annulus having an invariant circloid with a non-trivial rotation set has positive entropy, a result conjectured in the 90s.

The notion of generic/mean points goes back to the seminal work of Krylov and Bogolyubov.
The first to investigate the question of what happens when all points of a dynamical system are generic for some invariant measure seem to be Dowker and Lederer in 1964.
As it turns out, combining this property with other topological regularity criteria yields measure-theoretic rigidity results of the dynamical system.
For example, minimality of the system implies its unique ergodicity in this setting.
Another natural topological criterion in place of minimality is to assume that the map, which assigns each point its invariant measure to which it is generic, is continuous.
By several recent works by different authors, the following picture emerges for abelian group actions in this setting: each point is generic for some ergodic measure and even stronger, each orbit closure is uniquely ergodic.
In my talk, I will show that this is no longer the case for general actions by topological amenable groups, providing concrete counter-examples involving the group of all orientation preserving homeomorphisms on the unit interval as well as the Lamplighter group.
Moreover, in the course of the talk I will elaborate on the recently introduced notion of weak mean equicontinuity if time permits.

This is joint work with G. Fuhrmann and T. Hauser.

Marcelo Viana has conjectured that a smooth diffeomorphism admits a physical measure if the Lyapunov exponents of its orbits in a full volume set do not vanish. I will explain how a technique controlling the continuity of Lyapunov exponents allows to prove this conjecture in the case of smooth surface diffeomorphisms. This is a joint work with Jérôme Buzzi and Omri Sarig.