Seminario de Sistemas Dinámicos - Año 2024

In this talk, we give a complete topological classification of non-invertible Anosov maps on torus. We show that two non-invertible Anosov maps on torus are topologically conjugate if and only if their corresponding periodic points have the same Lyapunov exponents on the stable bundles. As a corollary, if two non-invertible Anosov maps on torus are topologically conjugate, then the conjugacy is smooth along the stable foliation. We also give a smooth classification via Jacobian on corresponding periodic points.
This is a joint work with Ruihao Gu.

Dado un flujo de Anosov en una 3-variedad cerrada, es posible construir muchos otros haciendo cirugías de Fried a lo largo de órbitas periódicas. El grafo cuyos vértices son clases de equivalencia orbital (Flujo Anosov, 3-variedad) y cuyas aristas representan cirugías de Fried entre éstos, se llama Grafo de Flujos de Anosov.

Este grafo permite organizar el conjunto de clases de equivalencia orbital de flujos de Anosov de una manera bien estructurada, de modo que el estudio de su topología da información acerca de esta familia de clases de equivalencia (de forma alternativa al problema de la clasificación de flujos de Anosov a través de invariantes de tipo finito). Sin embargo, muy poco se conoce acerca de la topología de este grafo. Por ejemplo, un problema aún abierto es entender sus diferentes componentes conexas.

Nuestro trabajo consiste en mostrar que la topología de este grafo puede ser estudiada de forma sistemática, a través de Estructuras Afines en Superficies Cerradas y, más aún, a través de Intercambios Afines de Intervalos.

La idea es visitar algunos resultados sobre regularidad de medidas estacionarias de caminatas de rango finito en grupos de Lie.  Empezando por el teorema de Guivarc'h y Le Jan sobre caminatas en el grupo modular, quiero introducir la conjetura de Kaimanovich-LePrince y dar un panorama de qué se sabe y que no.

El viernes vamos a comentar la siguiente historia de las ecuaciones diferenciales (ver abajo o [1]) y así motivar trabajos recientes. Estos últimos permiten, en sus primeras implementaciones pruebas asistidas por computadora de la existencia de caos para mapas del anillo en amplias familias analíticas. Se espera que puedan ser aplicados sistemáticamente, en particular en mapas que surgen en distintas ciencias, los cuales en bajos grados de libertad suelen tener un mapa discreto del anillo como sección de retorno. La idea es hacer una charla amplia, no necesariamente para especialistas del área.

[1] http://www.scholarpedia.org/article/History_of_dynamical_systems

Breve Historia

Las ecuaciones diferenciales relevantes hasta el siglo 20 surgen de la mecánica Hamiltoniana, es decir, aquellas que admiten potenciales, y por lo tanto conservan la energía mecánica. Aunque las soluciones explícitas se fueron complicando, como sucede al intentar resolver la ecuación del péndulo simple o el problema de Kepler en donde aparece la necesidad de utilizar primitivas que no son usuales (funciones elípticas en dichos casos), nuestros ancestros matemáticos se las fueron ingeniando para aumentar la lista de funciones concebidas y tomar sus versiones analíticas forma parte del inicio de la teoría de superficies de Riemann. Otro aspecto algebraico importante que apareció a finales del siglo 19, hoy se conoce como el Teorema de Arnold-Liouville: Si encontramos suficientes cantidades conservadas "independientes", entonces con un cambio de coordenadas veremos que las soluciones de nuestra ecuación diferencial viven genéricamente en toros y son flujos lineales en ellos, y fuera de ellos habrán singularidades y posibles conexiones entre ellas: un ejemplo simple pero muy importante de esto el caso del flujo asociado al péndulo físico. Las cantidades conservadas forman un álgebra de Poisson, y los toros surgen de intersectar las curvas de nivel de las distintas funciones. Esta nueva victoria Algebraica, llevó la idea de que el problema de entender las ecuaciones diferenciales Hamiltonianas se había acabado. Sin embargo, a finales de siglo 19 y principios del 20, el problema de los 3-cuerpos no se dejaba dominar por este método, faltaban cantidades conservadas. Entra aquí Poincaré, quien de hecho "prueba" que no podrán existir suficientes cantidades conservadas, pero más importante que esto, es que da cuenta del fenómeno que lo prohíbe: Intersecciones entre variedades estables en inestables de un mismo punto silla para un mapa discreto en un cilindro, que surge como mapa de retorno de la ecuación diferencial en cuestión. A su vez, en aquellos años las ecuaciones diferenciales no Hamiltonianas cobraron importancia a partir de circuitos eléctricos que irrumpieron, como el famoso circuito de Van der Pol (primer intento de modelar el corazón como un c.e.), y nuevamente, por ser una e.d.o. de orden 2, periódicamente forzada, admite un mapa de retorno en un plano, que es un cilindro si removemos el origen. Poincaré entiende que la teoría de ecuaciones diferencial debe admitir estudios cualitativos, ya que no tiene sentido seguir extendiendo la lista de fórmulas, y que aunque lo hiciéramos, no nos darían información relevante, y dedica sus últimos trabajos en matemática a estudiar mapas del anillo con condiciones "twist", ya que los mapas que provienen de e.d. suelen tener tal condición. Esto lo continúa Birkhoff, y se abre una teoría, que son los sistemas dinámicos de superficies. Por supuesto, una pregunta central durante el desarrollo de esta área fue, y es, decidir si una dinámica dada es caótica o no, tanto en el mundo conservativo (Hamiltoniano) como disipativo (ecuaciones tipo Van der Pol).

Decidir si un mapa del anillo es caótico o no ha sido un problema central en los sistemas dinámicos desde entonces, y aunque se llenó de modelos matemáticos para el caos, la teoría falla en decidir formalmente su existencia. Si nos vienen con un mapa dado desde otra ciencia (está repleto de casos), la prueba rigurosa de la existencia de caos es hoy casi imposible. Por otro lado, está lleno de resultados numéricos que dan "evidencia" echando mano al concepto de exponente de Lyapunov estimados numéricamente, y luego suelen cometer la imprudencia de confundir al lector con que hay una prueba formal detrás de todo eso, como sucede por ejemplo en el caso del péndulo doble. Del lado matemático, ante no poder decidir cuándo un mapa es caótico o no, se ha tomado por muchos autores el punto de vista genérico, donde para el caso conservativo se tiene la existencia genérica de caos. De cualquier modo, esto deja afuera las familias que puedan surgir en aplicaciones. Por último, existen honorables trabajos donde intentan probar caos formalmente para mapas del anillo, y es increíble ver lo difícil que resulta, y lo pobre que son los resultados, en el sentido de que se deben hacer restricciones infames de los parámetros para que los métodos utilizados funcionen.

En base a esta breve historia, queremos discutir avances en la pregunta, ¿es este mapa caótico?

Siguiendo las ideas de F. Carneiro y E. Pujals, construímos métricas riemannianas cuyo flujo geodésico resulta parcialmente hiperbólico, no Anosov. Algunos de estos flujos geodésicos son además, $C^1$ robustamente transitivos. Como corolario se deduce la existencia de métricas riemannianas con puntos conjugados y flujo geodésico transitivo. 

El objetivo de la charla es contar el contexto del problema, algunas motivaciones y (si el tiempo lo permite) algunas ideas de las pruebas. Trabajo en colaboración con Sergio Romaña (UFRJ) e Ygor Arthur López (Unicamp).

La dinámica topológica de las foliaciones está bien entendida. Existe un análogo de órbitas periódicas, conjuntos límite, recurrencia e incluso entropía topológica, siguiendo el trabajo de Ghys, Langevin y Walczak. Esta entropía mide la separación transversal de las hojas de una foliación. Sin embargo, esto no es el caso de la teoría ergódica de foliaciones. En particular, no hay una versión satisfactoria de entropía de medida para foliaciones, y es difícil imaginar una manera de detectar la separación de las hojas utilizando teoría de medida (ya sea armónica o invariante por ciertas dinámicas tangentes a las hojas). Por ejemplo, ¿es posible obtener un principio variacional para foliaciones? En esta charla, discutiré un enfoque realizado con Jiagang Yang (UFF, Niteroi) para abordar este problema.

Voy a hablar de trabajo conjunto en curso con Gilles Courtois y Emiliano Sequeira. Las horoesferas son conjuntos que aparecen como límite de esferas que pasan por un punto cuando el radio tiende a infinito.  En la geometría Euclídea dan hiperplanos, pero en espacios de curvatura negativa las horoesferas tienen curvatura ambiente no negativa, y la curvatura intrínseca puede ser de ambos signos.   Estos conjuntos aparecen también como proyecciones de las variedades estables e inestables fuertes del flujo geodésico.   Desde este punto de vista es conocido que tienen crecimiento de volumen a lo sumo polinomial, es decir el volumen de la bola de radio r es a lo sumo Cr^k para cierto k.   También hay una cota inferior con otra potencia del radio.    Mejoramos este resultado mostrando cotas inferiores y superiores con la misma potencia del radio en el caso de algunas variedades homogéneas de curvatura negativa (los llamados espacios de Heintze).

El objetivo es contar algunos ejemplos y preguntas que estamos haciendonos con Leon Carvajales y Pablo Lessa relacionados a grupos discretos de grupos de Lie con ciertas propiedades geometricas y de estabilidad. 

Este trabajo investiga las similitudes entre los homeomorfismos de Brouwer (homeomorfismos del plano que preservan la orientación y no tienen puntos fijos) y los mapas de tiempo-1 de flujos autónomos no singulares en el plano (aquí llamados simplemente flujos). Nos interesa la pregunta: Sea f un homeomorfismo de Brouwer y sean O1,...,Or órbitas de f. ¿Podemos hacer una isotopía de f a un flujo F fijando todas las órbitas O1,...,Or?

El primero en trabajar en este problema fue M. Handel, seguido años después por F. Le Roux y J. Bavard. Utilizando la llamada teoría homotópica de Brouwer, consiguieron demostrar que la respuesta a esta pregunta es sí, si r=1,2 ó 3, pero no si r>3. Estos resultados son muy útiles, ya que nos permiten importar algunas propiedades rígidas y bien comprendidas de los flujos al contexto de los homeomorfismos. Sin embargo, existen muy pocas o ninguna conexión entre la maquinaria desarrollada en estos trabajos y las herramientas modernas que se utilizan actualmente en la dinámica topológica de superficies, como por ejemplo la teoría de Brouwer foliada.

Nuestro objetivo es primero: construir una nueva estructura para esta teoría, más natural e intuitiva, preferencialmente basado en la teoría de Brouwer foliada y la noción de trayectorias transversales. A partir de aquí, queremos explorar nuevos conceptos que esta construcción nos permite investigar. En particular, mostramos que ahora es possible distinguir clases de isotopía de Brouwer (isotopías que no crean puntos fijos) de un homeomorfismo del plano relativas a sus órbitas O1,...,Or.

Al estudiar la dinámica de un grupo G actuando en un espacio topológico X el objetivo principal es el de entender las clausuras de las órbitas y como estas se distribuyen en ella. En dinámica homogénea, es decir, donde la dinámica está dada por la acción de un subgrupo en un cociente de un grupo de Lie, los teoremas de Ratner dan una respuesta muy precisa a este objetivo.

Los resultados de Benoist-Quint son los primeros en obtener descripciones precisas de clausuras de órbitas cuando el grupo que actúa no es necesariamente generado por unipotentes.

En el seminario daremos la demostración planteada por Yves Benoist y Hee Oh, de un caso particular del teorema de Benoist-Quint. Concretamente, demostraremos que, dado un subgrupo G1 de PSL(2,R) convexo cocompacto y un subgrupo G2 de PSL(2,R) cocompacto y sin torsión, las órbitas en G2\PSL(2,R) por la acción a derecha de G1 son o bien densas o bien finitas.

 Decimos que un grupo G es ordenable si existe un orden total en G que cumple: si h<k entonces gh<gk, para todo g,h,k en G.

Ser ordenable es una propiedad con un costado muy dinámico ya que es equivalente a que el grupo actúe fielmente en la recta real por homeomorfismos que preservan la orientación. En el 2006 Witte Morris probó el siguiente

Teorema: Sea G un grupo ordenable a izquierda y promediable. Entonces G es localmente indicable (i.e. todo subgrupo finitamente generado de G admite un morfismo a Z).

Vamos a mostrar otra prueba de este resultado, obtenida a Bertrand Deroin, que utiliza el espacio de representaciones del grupo G en Homeo_+(R) (el grupo de homeomorfismos de la recta). Luego, veremos algunas preguntas (y unas pocas respuestas), que surgen de esta prueba, sobre el espacio de representaciones de grupos promediables en Homeo_+(R) . Esta última parte es un trabajo en progreso junto a Nicolás Matte Bon, Cristóbal Rivas y Michele Triestino. Se intentará ser auto-contenido.

El estudio de existencia, finitud y unicidad de medidas de maxima entropía es un problema de gran interés en dinámica y termodinámica. Newhouse 89 probó que mapas suaves siempre tienen medidas de máxima entropía y recientemente Buzzi, Croviser y Sarig 22 probaron que en dimension 2, difeomorfismos con entropia topológica positiva tienen una cantidad finita de medidas de máxima entropía, y en el caso transitivo una única.
En dicho trabajo Buzzi, Crovisier y Sarig relacionaron la cantidad de medidas de maxima entropía con la cantidad de clases homoclínicas de medidas hiperbólicas, probaron que en cada clase homoclínica existe como máximo una medida de máxima entropía.

En este seminário voy a mostrar una generalización del resultado de unicidad de medidas de maxima entropía en clases homoclínicas para mapas no invertibles y voy a dar 3 aplicaciones de dicho resultado:
Finitud de medidas de máxima entropía para endomorfismos parcialmente hiperbólicos.
Unicidad de medidas de máxima entropia para una clase de endomorfismos conservativos sin descomposición dominada introducida por Andersson, Carrasco y Saghin.
Unicidad de medidas de maxima entropía expansoras para mapas con singularidades, tipo Viana-Maps.

Este es un trabajo en conjunto com Yuri Lima y Davi Obata.

Width is a classical geometric invariant of plane curves. It measures how narrow they are. Its definition, however, is based on Euclidean geometry and not easily generalisable beyond other constant curvature spaces. We will discuss how the variational theory of the Riemannian distance function, developed along the lines of Lusternik-Schnirelmann theory, can be used to define a meaningful notion of width for curves embedded in any complete Riemannian manifold, of any dimension. In particular, this definition allow to generalise another classical notion - curves of constant width - and to prove the existence of geodesics that meet two points of the curve in certain geometrically special configurations - for instance, in same cases, orthogonally. The talk will be based on joint work with Rafael Montezuma (UFC - Fortaleza) and Roney Santos (USP - São Paulo).

Junto con Renato Iturriaga (Cimat, Guanajuato) hemos descubierto en el pasado mes de octubre una muy simple y fundamental descomposición de la ecuación de Jacobi a lo largo de los movimientos homográficos. Estos movimientos, descubiertos esencialmente por Euler y Lagrange son los únicos que se conocen explícitamente, y son esencialmente encajes del movimiento Kepleriano que es integrable. Encontramos esta descomposición para estudiar un problema de scattering, que resolvimos, pero evidentemente no pudimos dejar de abordar, con la perspectiva de esta descomposición, la estabilidad de las órbitas periódicas homográficas, y encontramos nuevos criterios de inestabilidad.

Voy a demostrar la inestabilidad que se observa en el siguiente video, que simula numéricamente una órbita muy cercana a la célebre periódica elíptica de Lagrange:

https://youtu.be/D2YhKaANbWE?si=bNqvEj3_u4qiuEDa

En el 2011, Avila y Kocsard mostraron que difeos $C^{\infty}$ del círculo con número de rotación irracional no admiten distribuciones invariantes de ningún orden. Poco tiempo después, en el 2013, Navas y Triestino mejoraron algunas partes de este trabajo, relacionando distribuciones invariantes de orden 1 con la noción de medidas automorfas, introducida por Douady y Yoccoz en los ochenta. En esta charla vamos a discutir estos conceptos, y ver cómo pueden extenderse a mapas con puntos críticos. Trabajo en colaboración con Edson de Faria (USP) y Bruno Nussenzveig (CUNY).

A quasigeodesic in a manifold is a curve so that when lifted to the universal cover is uniformly efficient up to a bounded multiplicative and added error in measuring length. A flow is quasigeodesic if all flow lines are  quasigeodesics. We prove that an Anosov flow in a closed hyperbolic manifold is quasigeodesic if and only if it is not R-covered. Here R-covered means that the stable 2-dim foliation of the flow, lifts to a foliation in the universal cover whose leaf space is homeomorphic to the real numbers. There are many examples of quasigeodesic Anosov flows in closed hyperbolic 3-manifolds. There are consequences for the continuous extension property of Anosov foliations, and the existence of group invariant Peano curves associated with Anosov flows.

In 1981, E. Ghys proved that any Anosov flow on a circle bundle M over a surface S is a finite covering along the fibers of the geodesic flow of S. In this talk I will prove that on M there is one or two equivalence orbital classes of Anosov flows. This is a joint work with S.R. Fenley.