Conjetura de Mendes sobre Anosov en el plano - Mendes' conjecture for Anosov in the plane.

Un difeomorfismo en el plano es Anosov si tiene una estructura hiperbólica en todo punto. Además de los automorfismos lineales hiperbólicos, las traslaciones del plano también admiten una estructura de Anosov (la existencia de estas estructuras para traslaciones fueron demostradas por White, W. en los 70´s). Mendes, P. conjeturó (1977) que los ejemplos antes mencionados dan lugar a las únicas clases de conjugación para los difeomorfismos de Anosov en el plano. Recientemente Matsumoto, S. mostró un ejemplo de un difeomorfismo de Anosov en el plano sin puntos fijos que no es conjugado a una traslación lo cual prueba que la conjetura de Mendes es falsa. En nuestro trabajo realizado en conjunto con Nitecki, Z. probamos que la conjetura de Mendes es verdadera en el caso que el difeo sea el tiempo uno de un flujo. Es interesante que esto se logra demostrando un resultado para foliaciones invariantes por el tiempo uno de un flujo.

Nuestro trabajo y el de Matsumoto son casi contemporáneos a tal punto que Matsumoto construye su ejemplo considerando entre otras cosas el resultado sobre foliaciones antes mencionado.

A diffeomorphism of the plane is Anosov if it has a hyperbolic splitting at every point of the plane. In addition to linear hyperbolic automorphisms, translations of the plane also carry an Anosov structure (the existence of Anosov structures for plane translations was originally shown by White). Mendes conjectured that these are the only topological conjugacy classes for Anosov diffeomorphisms in the plane. Very recently, Matsumoto gave an example of an Anosov diffeomorphism of the plane, which is a Brouwer translation but not topologically conjugate to a translation, disproving Mendes’ conjecture. In this paper we prove that Mendes’ claim holds when the Anosov diffeomorphism is the time-one map of a flow, via a theorem about foliations invariant under a time-one map. In particular, this shows that the kind of counterexample constructed by Matsumoto cannot be obtained from a flow on the plane.