Topología de un atractor global para homeomorfismos en R^m con sombreado topológico.

En esta charla estudiaremos la dinámica de atractores
globales de homeomorfismos en $\R^m$ con sombreado topológico.
El objetivo es describir la topología del atractor. Llegaremos a que
bajo estas condiciones si m>1, el atractor debe ser trivial.

¿Por qué nos interesa el sombreado? La propiedad del sombreado de
pseudo órbitas es introducida en los trabajos de Anosov y Bowen y
resulta ser un concepto fundamental en el estudio de los sistemas
dinámicos. En términos generales la idea de este concepto viene de
pensar que en cada iteración se comete un "error en la medición". A
medida que el sistema evoluciona en el tiempo puede suceder que la
acumulación de los errores de cada iterado haga que el comportamiento
"teórico" y el comportamiento "numérico" sean totalmente distintos.
Si tenemos cierto control del error que se puede cometer, por ejemplo,
estar a menos de un número $\delta>0$, entonces la órbita numérica se
llamará $\delta$-pseudo órbita. La idea es que el sistema tendrá la
propiedad del sombreado de pseudo órbitas si, independientemente de
la acumulación de errores que se tenga en cada etapa, el
comportamiento numérico es "cercano" al comportamiento teórico.

Si consideramos que el error cometido por una pseudo-órbita puede
cambiar dependiendo de la ubicación del punto en el espacio, podemos
pensar en este error como una función continua que depende del punto,
esto es, una $\delta$-pseudo órbita se puede plantear como una
sucesión $\{x_n\}_{n\in\Z}$ que verifica que
$d(f(x_n),x_{n+1})<\delta(f(x_n))$. Asimismo, se puede considerar que
el grado de cercanía entre una pseudo órbita y una órbita también
dependa de la posición, con lo que una pseudo órbita
$\{x_n\}_{n\in\Z}$ será $\epsilon$-sombreada si existe una órbita
$\{y_n\}_{n\in\Z}$ que pasa por $y$ que cumple $d(x_n,
y_n)<\epsilon(x_n)$. En el caso en que el espacio métrico $X$ es
compacto, ambas definiciones son equivalentes. En el contexto de
espacios no compactos no lo son.

La propiedad del sombreado topológico entonces generaliza la
propiedad del sombreado métrico de un espacio compacto a un espacio
no compacto. Existen varios trabajos al respecto donde por lo general
se estudia en conjunto el sombreado y la expansividad para el caso de
homeomorfismos.

La definición de atractor que usaremos en esta charla es la siguiente:
Se dice que $K$ es atractor estable si existe $U$ entorno abierto y
acotado de $K$ tal que cumple las siguientes condiciones:
1. $K\subset U$, 2.$\overline{f(U)}\subset U$, 3.
$\displaystyle{K=\bigcap_{n>0} f^n(U)}$.
El atractor es global si la cuenca de atracción es todo el espacio.