Un paseo crítico por la teoría de las ecuaciones diferenciales, y algunos resultados recientes

El viernes vamos a comentar la siguiente historia de las ecuaciones diferenciales (ver abajo o [1]) y así motivar trabajos recientes. Estos últimos permiten, en sus primeras implementaciones pruebas asistidas por computadora de la existencia de caos para mapas del anillo en amplias familias analíticas. Se espera que puedan ser aplicados sistemáticamente, en particular en mapas que surgen en distintas ciencias, los cuales en bajos grados de libertad suelen tener un mapa discreto del anillo como sección de retorno. La idea es hacer una charla amplia, no necesariamente para especialistas del área.

[1] http://www.scholarpedia.org/article/History_of_dynamical_systems

Breve Historia

Las ecuaciones diferenciales relevantes hasta el siglo 20 surgen de la mecánica Hamiltoniana, es decir, aquellas que admiten potenciales, y por lo tanto conservan la energía mecánica. Aunque las soluciones explícitas se fueron complicando, como sucede al intentar resolver la ecuación del péndulo simple o el problema de Kepler en donde aparece la necesidad de utilizar primitivas que no son usuales (funciones elípticas en dichos casos), nuestros ancestros matemáticos se las fueron ingeniando para aumentar la lista de funciones concebidas y tomar sus versiones analíticas forma parte del inicio de la teoría de superficies de Riemann. Otro aspecto algebraico importante que apareció a finales del siglo 19, hoy se conoce como el Teorema de Arnold-Liouville: Si encontramos suficientes cantidades conservadas "independientes", entonces con un cambio de coordenadas veremos que las soluciones de nuestra ecuación diferencial viven genéricamente en toros y son flujos lineales en ellos, y fuera de ellos habrán singularidades y posibles conexiones entre ellas: un ejemplo simple pero muy importante de esto el caso del flujo asociado al péndulo físico. Las cantidades conservadas forman un álgebra de Poisson, y los toros surgen de intersectar las curvas de nivel de las distintas funciones. Esta nueva victoria Algebraica, llevó la idea de que el problema de entender las ecuaciones diferenciales Hamiltonianas se había acabado. Sin embargo, a finales de siglo 19 y principios del 20, el problema de los 3-cuerpos no se dejaba dominar por este método, faltaban cantidades conservadas. Entra aquí Poincaré, quien de hecho "prueba" que no podrán existir suficientes cantidades conservadas, pero más importante que esto, es que da cuenta del fenómeno que lo prohíbe: Intersecciones entre variedades estables en inestables de un mismo punto silla para un mapa discreto en un cilindro, que surge como mapa de retorno de la ecuación diferencial en cuestión. A su vez, en aquellos años las ecuaciones diferenciales no Hamiltonianas cobraron importancia a partir de circuitos eléctricos que irrumpieron, como el famoso circuito de Van der Pol (primer intento de modelar el corazón como un c.e.), y nuevamente, por ser una e.d.o. de orden 2, periódicamente forzada, admite un mapa de retorno en un plano, que es un cilindro si removemos el origen. Poincaré entiende que la teoría de ecuaciones diferencial debe admitir estudios cualitativos, ya que no tiene sentido seguir extendiendo la lista de fórmulas, y que aunque lo hiciéramos, no nos darían información relevante, y dedica sus últimos trabajos en matemática a estudiar mapas del anillo con condiciones "twist", ya que los mapas que provienen de e.d. suelen tener tal condición. Esto lo continúa Birkhoff, y se abre una teoría, que son los sistemas dinámicos de superficies. Por supuesto, una pregunta central durante el desarrollo de esta área fue, y es, decidir si una dinámica dada es caótica o no, tanto en el mundo conservativo (Hamiltoniano) como disipativo (ecuaciones tipo Van der Pol).

Decidir si un mapa del anillo es caótico o no ha sido un problema central en los sistemas dinámicos desde entonces, y aunque se llenó de modelos matemáticos para el caos, la teoría falla en decidir formalmente su existencia. Si nos vienen con un mapa dado desde otra ciencia (está repleto de casos), la prueba rigurosa de la existencia de caos es hoy casi imposible. Por otro lado, está lleno de resultados numéricos que dan "evidencia" echando mano al concepto de exponente de Lyapunov estimados numéricamente, y luego suelen cometer la imprudencia de confundir al lector con que hay una prueba formal detrás de todo eso, como sucede por ejemplo en el caso del péndulo doble. Del lado matemático, ante no poder decidir cuándo un mapa es caótico o no, se ha tomado por muchos autores el punto de vista genérico, donde para el caso conservativo se tiene la existencia genérica de caos. De cualquier modo, esto deja afuera las familias que puedan surgir en aplicaciones. Por último, existen honorables trabajos donde intentan probar caos formalmente para mapas del anillo, y es increíble ver lo difícil que resulta, y lo pobre que son los resultados, en el sentido de que se deben hacer restricciones infames de los parámetros para que los métodos utilizados funcionen.

En base a esta breve historia, queremos discutir avances en la pregunta, ¿es este mapa caótico?