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Hay muchísimos libros de Análisis Funcional.
A modo de ejemplos menciono algunos a continuación, pero los invito a hurgar en la biblioteca (e internet) para buscar otras opciones.
Otras obras complementarias:
Habrá tres tipos de evaluaciones durante el curso: entrega de ejercicios marcados en los prácticos, presentación de un trabajo en grupo, y la realización de dos parciales, de acuerdo al siguiente detalle:
Registro aproximado de
lo tratado en cada clase.
Martes 20 de agosto.
Espacios vectoriales topológicos. Descripción y datos del curso, método de aprobación. Algunos antecedentes: el problema de la cuerda vibrante y las series de Fourier, problemas de Sturm-Liouville, el trabajo de Fredholm sobre ecuaciones integrales. Topologías vectoriales, espacios vectoriales topológicos. Espacios seminormados, normados, y de Banach. Espacios con producto interno y espacios de Hilbert. El \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial \(\mathbb{R}_d\) (el cuerpo de los números reales con la topología discreta) no es un espacio vectorial topológico sobre \(\mathbb{R}_d\).Jueves 22 de agosto.
Repaso y ejemplos. Las traslaciones y las homotecias son homeomorfismos. Un operador lineal es continuo si y sólo si es continuo en algún punto. Bases locales. Conjuntos convexos, balanceados, acotados. Compactos y cerrados disjuntos se pueden separar por abiertos disjuntos. Un evt es de Hausdorff sii es T1. Varias propiedades básicas de un evt que se pueden ver en los teoremas 1.13 y 1.14 del libro de Rudin.Semana 2
Martes 27 de agosto.
Algunos tipos de espacios vectoriales topológicos. Todo evt tiene una base local equilibrada, y todo evt localmente convexo tiene una base local equilibrada y convexa. Teorema 1.15 del libro de Rudin. Algunos comentarios sobre metrizabilidad. Espacios localmente convexos y espacios polinormados.Jueves 29 de agosto.
Semana 3
Martes 3 de setiembre.
Conjuntos absorbentes. Funcionales de Minkowski. Teorema: todo espacio localmente convexo es multi-normado. Teorema (Kolmogorov): un espacio es seminormable si y sólo si es localmente convexo y localmente acotado; en ese caso es de Hausdorff si y sólo si es normable.Jueves 5 de setiembre.
En todo espacio vectorial existe una topología localmente convexa máxima. Comentario: métrica sobre un evt localmente convexo con base numerable. Algunos ejemplos: \(C^\infty(\Omega)\), Hol\( (\Omega)\), \(\mathcal{D}\), \(C^\infty_{per}[-\pi,\pi]\), espacios de Schwartz \(\mathcal{S}\)\( (\mathbb{R})\) y \(\mathcal{S}\)\( (\mathbb{Z})\), etc. Condiciones equivalentes para la continuidad de una funcional lineal.Semana 4
Martes 10 de setiembre.
Operadores acotados en espacios seminormados. Funcionales sublineales. Teorema de extensión de Hahn-Banach.Jueves 12 de setiembre.
Repaso: algunos ejemplos de operadores acotados y de cálculo de sus normas; corolarios del teorema de extensión de Hahn-Banach. Teorema de separación de Hahn-Banach.Semana 5
Martes 17 de setiembre.
Algunas consecuencias y aplicaciones del teorema de separación de Hahn-Banach: el dual un espacio localmente convexo y de Hausdorff separa puntos; clausuras de subespacios, de envolventes convexas.Jueves 19 de setiembre.
Ejemplo: límites de Banach. En un espacio localmente convexo la clausura de un convexo es igual a la intersección de los semiespacios cerrados que lo contienen, y por lo tanto sólo depende del espacio dual. Topologías iniciales. Si \(Y\) es un espacio de funcionales lineales que separa puntos de un espacio vectorial \(X\), y \(\sigma(X,Y)\) es la topología inicial de \(X\) con respecto a \(Y\), entonces \((X,\sigma(X,Y))\) es un espacio localmente convexo de Hausdorff, y el espacio dual de \((X,\sigma(X,Y))\) es igual a \(Y\). Topología \(w\) (topología débil) de un espacio vectorial topológico. Si \((X,\tau)\) es un espacio localmente convexo de Hausdorff, \(w\) es la topología débil de \(X\), y \(C\subseteq X\) es un subconjunto convexo de \(X\), entonces \((X,\tau)'=X'=(X,w)'\) y las clausuras de \(C\) según \(\tau\) y \(w\) coinciden.Semana 6
Martes 24 de setiembre.
Aplicación: una versión del teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales topológicos para los cuales el dual separa puntos. Topología \(w^*\) (débil estrella) en un espacio dual. Conjunto polar de un conjunto dado. Teorema de Banach-Alaoglu. Si \(X\) es separable y \(K\subseteq X'\) es \(w^*\)-compacto, entonces \((K,w^*)\) es metrizable.Jueves 26 de setiembre.
Corolarios del teorema de Banach-Alaoglu, en particular enunciado del teorema de Banach-Alaoglu para espacios normados. Aplicación: todo espacio normado \(X\) es isométricamente isomorfo a un subespacio de \((C(\mathsf{T}),\|\ \|_\infty)\), donde \(\mathsf{T}\) es un espacio de Hausdorff compacto; si \(X\) es separable, \(\mathsf{T}\) se puede tomar metrizable. Convergencia en las topologías \(w\) y \(w^*\) en los espacios \(\ell^p\), \(C(\mathsf{T})\) y \(M(\mathsf{T})\). Si \(0< p\leq 1\), entonces \((\ell^p)'\cong\ell^\infty\), y las topologías débiles \(w_p^*\) inducidas por cada \(\ell^p\) en \(\ell^\infty\) son todas diferentes, aunque todas coinciden cuando se restringen a \(B:=\{a\in\ell^\infty: \|a\|_\infty\leq 1\}\).Semana 7
Martes 1º de octubre.
Puntos extremales. Ejemplos: puntos extremales de las bolas unitarias cerradas de \( c_0\), \(L^1(0,1), C(\mathsf{T}), P(\mathsf{T})\). Teorema de Krein-Milman.Jueves 3 de octubre.
Espacios duales y transformaciones duales. Continuidad de la la transformación en las topologías débiles y de la transformación dual en las topologías débiles estrella. La transformación dual \(T'\) de un operador acotado \(T\) entre espacios normados es un operador acotado, y además \(\|T'\|=\|T\|\). Ejemplo: transformada de Fourier en \(\mathbb{R}\) y en el espacio de Schwartz \(\mathcal{S}\). Transformada de Fourier de distribuciones temperadas. El mapa \(J:(X,w)\to (X'',w^*)\) es un homeomorfismo sobre su imagen, y esta es \(w^*\)-densa en \(X''\). Si \(X\) es un espacio normado y \(B\) es su bola unidad, entonces \(J(B)\) es \(w^*\)-densa en la bola unidad cerrada \(B''\) de \(X''\). Espacios reflexivos. Son equivalentes: (i) \(X\) es reflexivo; (ii) Las topologías débil y débil estrella de \(X'\) son iguales; (iii) La bola unitaria cerrada de \(X'\) es \(w\)-compacta; (iv) \(X'\) es reflexivo.Semana 8
Martes 8 de octubre.
Final de la demostración de caracterizaciones de espacios reflexivos. Sumario de lo visto hasta ahora. Espacios normados y operadores acotados; espacios de Banach. Si \(X,Y\) son espacios de Banach, entonces el espacio de operadores acotados de \(X\) en \(Y\), \(B(X,Y)\), es un espacio normado, que es de Banach si \(Y\) es de Banach. Sumas de espacios normados.Jueves 10 de octubre. Primer parcial.
Semana 9
Martes 15 de octubre.
Algunos ejemplos de espacios normados. Normas equivalentes. En un espacio de dimensión finita todas las normas son equivalentes. Completaciones. Espacios cociente; la proyección canónica es abierta y tiene norma 1; la norma en el cociente define la topología cociente. Corolario: si \(Y\)S es un subespacio cerrado de \(X\), y \(M\) es un subespacio de dimensión finita de \(X\), entonces \(Y+M\) es un subespacio cerrado. Si \(X\) es de Banach e \(Y\) es un subespacio cerrado de \(X\), entonces \(Y\) y \(X/Y\) son ambos de Banach.Jueves 17 de octubre.
Si \(Y\) es un subespacio cerrado del espacio normado \(X\), entonces \(X\) es de Banach si y sólo si \(Y\) y \(X/Y\) son de Banach. Extensión de operadores acotados a completaciones. Aplicación: integración de funciones continuas a valores en un espacio de Banach, definidas en un intervalo compacto de \(\mathbb{R}\). Mini repaso sobre espacios de Baire. Teorema de la aplicación abierta. Corolario: teorema de Banach. Teorema del gráfico cerrado.Semana 10
Martes 22 de octubre.
No hubo clase debido a un paroJueves 24 de octubre.
Observaciones sobre los teoremas de la aplicación abierta y del gráfico cerrado, y algunas aplicaciones. Teorema de acotación uniforme.Semana 11
Martes 29 de octubre.
Formas bilineales y formas sesquilineales. Identidades de polarización para formas bilineales simétricas y para formas sesquilineales cualesquiera. Formas cuadráticas asociadas. Una forma sesquilineal es hermitiana (o autoadjunta) si y sólo si su forma cuadrática asociada es real. Espacios con producto interno. Desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkowski, espacios de Hilbert. Ley del paralelogramo, teorema de Pitágoras. Ortogonalidad. Conjuntos ortonormales. Elementos minimizantes en conjuntos convexos cerrados.Jueves 31 de octubre.
Proyecciones ortogonales. Si \(M\) es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert \(H\), entonces \(H=M\oplus M^\perp\), y \((M^\perp)^\perp=M\). Si \(A\subseteq H\), entonces \((A^\perp)^\perp\) es el subespacio cerrado generado por \(A\). En particular si \(A\) es un subespacio de \(H\), entonces \(A\) es denso en \(H\) si y sólo si \((A^\perp)^\perp=H\). Funcionales lineales continuas y teorema de representación de Riesz. Conjuntos ortonormales y bases ortonormales. Todo conjunto ortonormal está contenido en una base ortonormal.Semana 12
Martes 5 de noviembre.
Proceso de Gram-Schmidt. Expresión de una proyección ortogonal en términos de una base ortonormal de un subespacio. Desigualdad de Bessel. Caracterizaciones de bases ortonormales. Igualdad de Parseval. Isomorfismos entre espacios de Hilbert. Si \(E\) es una base ortonormal del espacio de Hilbert \(\mathcal{H}\), entonces \(\mathcal{H}\) es isomorfo a \(\ell^2(E)\).Jueves 7 de noviembre.
Coeficientes de Fourier y transformada de Fourier abstracta. Dimensión de un espacio de Hilbert. Clasificación de los espacios de Hilbert de acuerdo a su dimensión. Espacios de Hilbert separables. Series de Fourier: una base ortonormal para \(L^2(S^1)\).Semana 14
Martes 12 de noviembre.
Cocientes de espacios de Hilbert. Sumas directas y productos tensoriales de espacios de Hilbert. Formas sesquilineales y sus adjuntas. En un espacio complejo una forma sesquilineal coincide con su adjunta si y sólo si su forma cuadrática asociada es real. Cálculo de las normas de un elemento y de un operador en términos de productos internos. Formas sesquilineales acotadas y operadores acotados. Adjunto de un operador.Jueves 14 de noviembre.
Ejemplos de cálculo de adjuntos: operadores integrales, el shift en \(\ell^2\). Relación entre el operador adjunto y el operador transpuesto. Propiedades de la adjunción. Tipos de operadores: autoadjuntos, unitarios, normales. Un operador acotado \(A\in B(H)\) en un espacio de Hilbert complejo \(H\) es autoadjunto si y sólo si \(\langle Ah,h\rangle\in\mathbb{R},\,\forall h\in H\). Si \(A\in B(H)\) es autoadjunto, entonces \(\|A\|=\sup\{\langle Ah,h\rangle: \|h\|=1\}\). Operadores normales, operadores unitarios.Semana 15
Martes 19 de noviembre.
Operadores de rango finito y operadores compactos. El conjunto de operadores compactos entre espacios de Banach es un espacio de Banach. Los operadores de rango finito entre espacios de Hilbert son densos en el conjunto de operadores compactos entre dichos espacios. Si \(T\) es un operador acotado entre espacios de Hilbert, entonces \(T\) es compacto sii \(T^*\) es compacto, y \(T^*\) es compacto sii \(T'\) es compacto. Ejemplos: operadores de multiplicación compactos en \(\ell^2\); operadores integrales. Valores y vectores propios, espectro puntual de un operador. Ejemplo: el operador de Volterra es compacto y sin valores propios.Jueves 21 de noviembre. Subespacios invariantes y subespacios que reducen. \(T(M)\subseteq M \iff T(M^\perp)\subseteq M^\perp\). Para operadores autoadjuntos un subespacio es invariante sii es reductor. En ese caso la restricción también es autoajunta. Si \(T\) es compacto y \(\lambda\) es un valor propio no nulo de \(T\), entonces el subespacio propio correspondiente es de dimensión finita. Si \(A\) es autoadjunto y \(\lambda\) es un valor propio de \(A\), entonces \(\lambda\) es real. si \(T\) es compacto y \(\lambda\neq 0\), entonces \(\lambda\in\sigma_p(T) \iff \inf_{\|h\|=1}\|Th-h\|=0\). Si \(A\) es compacto y autoadjunto, entonces \(\sigma_p(A)\cap\{\pm\|A\|\}\neq\emptyset\). Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos.
Semana 16
Martes 26 de noviembre.
Diagonalización simultánea de operadores compactos autoajuntos que conmutan. Teorema espectral para operadores compactos normales. Cálculo funcional.Jueves 28 de noviembre. Segundo Parcial