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Lunes 18 de marzo.
Sucesiones de funciones. Descripción y datos del curso, método de aprobación. Sucesiones y series de funciones. Convergencia punto a punto y convergencia uniforme. Ejemplo: la sucesión \(f_n:[0,1]\to\mathbb{R}\), dada por \(f_n(x):=x^n\) \(\forall n\in\mathbb{N},\ x\in [0,1]\), converge punto a punto a la función nula, pero no uniformemente. Lo mismo ocurre con la sucesión \(f_n:[0,1]\to\mathbb{R}\) tal que \(f_n(x):=\sqrt{n}xe^{-nx^2}\). En cambio la sucesión dada por \(f_n(x):=(1-x)x^n\) para \(x\in [0,1]\) converge uniformemente en \([0,1]\). Teorema. Sea \((f_n)_{n\geq 1}\) una sucesión de funciones definidas en un conjunto \(D\subseteq \mathbb{R^k}\) y a valores en \(\mathbb{R^m}\) o \(\mathbb{C}\), y supongamos que \(a\) es un punto de acumulación de \(D\). Si \(f_n\) converge uniformemente a \(f\) en \(D\), y para cada \(n\) existe \(L_n:=\lim_{x\to a}f_n(x)\), entonces existen los límites \(\lim_{x\to a}f(x)\) y \(\lim_nL_n\) y son iguales, es decir: \(\lim_{x\to a}\lim_nf_n(x)=\lim_n\lim_{x\to a}f_n(x)\). -
Miércoles 20 de marzo.
Repaso. Sucesiones de funciones uniformemente de Cauchy. Una sucesión es uniformemente convergente si y sólo si es uniformemente de Cauchy. Teorema: el límite uniforme de funciones continuas es una función continua. El espacio de las funciones reales acotadas como un espacio métrico con la métrica uniforme. Convergencia uniforme e integración. Ejemplo de una sucesión de funciones integrables Riemann cuyo límite puntual no lo es. Ejemplo: la sucesión \((f_n)\) tal que \((f_n(x)=n^2x^n(1-x)\), \(n\in\mathbb{N},\,x\in[0,1]\), converge punto a punto a la función nula, pero \(\int_0^1f_n(t)dt\to 1\). Teorema: supongamos que \(f\) es el límite uniforme de una sucesión \((f_n)_{n\geq 1}\) de funciones acotadas en \([a,b]\); entonces \(f\) es acotada, y además \(\bar{\int}_a^bf(t)dt=\lim_n\bar{\int}_a^bf_n(t)dt\) y \(\underline{\int}_a^bf(t)dt=\lim_n\underline{\int}_a^bf_n(t)dt\). Corolario: si, en la situación del teorema previo cada \(f_n\) es integrable en \([a,b]\), entonces \(f\) también es integrable en \([a,b]\), y además \(\int_a^bf(t)dt=\lim_n\int_a^bf_n(t)dt.\) -
Viernes 22 de marzo.
Comentarios adicionales sobre convergencia uniforme e integración. Convergencia uniforme y diferenciación. Versiones de los resultados vistos para series de funciones (I): series uniformemente de Cauchy, condición necesaria de convergencia uniforme de una serie de funciones, intercambio de límite con la suma, continuidad de la suma.
Semana 2
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Lunes 25 de marzo.
Versiones de los resultados vistos para series de funciones (II): integración y derivación término. Convergencia absoluta. Criterio "M" de Weierstrass. Series de potencias. Teorema de Abel y radio de convergencia. Convergencia uniforme sobre compactos del círculo de convergencia. Fórmula de Cauchy-Hadamard para el radio de convergencia. -
Miércoles 27 de marzo.
Integración y derivación de series de potencias. Series de Taylor. -
Viernes 29 de marzo.
Otros criterios de convergencia uniforme. Criterio de Leibniz para convergencia uniforme de ciertas series alternadas. Fórmula de sumación de Abel, y criterios de Abel y Dirichlet para convergencia uniforme de ciertas series de funciones. Aplicación: comportamiento de una serie de potencias en la frontera de su círculo de convergencia (segundo teorema de Abel).
Semana 3
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Lunes 1º de abril.
Teoremas de la función inversa y de la función implícita. Repaso sobre diferenciabilidad. Ejemplo: la inversión de matrices, \(\mathbf{i}:GL_k(\mathbb{R})\to GL_k(\mathbb{R})\), es de clase \(C^\infty\), y su diferencial en \(A\in GL_k(\mathbb{R})\) calculado en \(M\in M_k(\mathbb{R})\) es \(D\mathbf{i}_A(M)=-A^{-1}MA^{-1}\). Teorema del punto fijo de Banach. Enunciado del teorema de la función inversa; reducción a un caso especial. -
Miércoles 3 de abril.
Generalización del teorema del valor medio para funciones de varias variables, y demostración del teorema de la función inversa. -
Viernes 5 de abril.
Aplicaciones: los puntos críticos no degenerados de una función dos veces diferenciable en un abierto son aislados dentro del conjunto de puntos críticos; los difeomorfismos locales son aplicaciones abiertas. La condición de una matriz de tener rango máximo es una condición abierta. Inmersiones y submersiones. Forma local de las inmersiones.
Semana 4
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Lunes 8 de abril.
Forma local de las submersiones. Teorema de la función implícita. -
Miércoles 10 de abril.
Ejemplos de aplicación del teorema de la función implícita. Derivación de la función implícita. Variedades diferenciables en \(\mathbb{R}^n\). Parametrizaciones de conjuntos. Ejemplos. -
Viernes 12 de abril.
Abiertos relativos. Definición de variedad diferenciable. Dimensión. Cambios de coordenadas. Los cambios de coordenadas son difeomorfismos.
Semana 5
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Lunes 15 de abril. No hay clase: Semana Santa.
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Miércoles 17 de abril. No hay clase: Semana Santa.
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Viernes 19 de abril. No hay clase: Semana Santa.
Semana 6
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Lunes 22 de abril. No hay clase: recuerdo de la cruzada de los treinta y tres orientales.
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Miércoles 24 de abril.
Puntos y valores regulares. Un conjunto es una variedad si y solamente si es localmente el gráfico de una función diferenciable, o localmente la preimagen de un valor regular de una función diferenciable, o alrededor de cada punto hay un difeomorfismo que transforme un abierto de la variedad en un abierto del espacio euclidiano correspondiente. -
Viernes 26 de abril.
Ejemplos de aplicación de las caracterizaciones precedentes de variedad. Espacios tangentes y sus caracterizaciones.
Semana 7
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Lunes 29 de abril.
Ejemplos. Superficies de revolución. Aplicaciones diferenciables entre variedades. -
Miércoles 1º de mayo. No hay clase: día de los trabajadores.
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Viernes 3 de mayo.
Diferencial de una aplicación diferenciable entre variedades. Regla de la cadena. Teorema de la función inversa. Difeomorfismos entre variedades. Ejemplos. Breve visita a los multiplicadores de Lagrange.
Semana 8
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Lunes 6 de mayo.
Integrales de línea. Curvas. Longitud de una curva. Curvas rectificables. Curvas regulares a trozos. Reparametrizaciones de una curva. Parametrización con respecto a la longitud de arco. Integrales de línea de campos escalares. -
Miércoles 8 de mayo.
Repaso y complementos sobre curvas. Curvas simples, curvas cerradas, y orientación de una curva. Ejemplos de integrales de línea. Independencia de la integral con respecto a la parametrización. Propiedades de la integral. Otras interpretaciones de la integral. Campos vectoriales. Integración de campos vectoriales sobre curvas. Ejemplos. -
Viernes 10 de mayo.
La integral de línea como trabajo de una fuerza. Campos conservativos. Campos gradiente, potenciales escalares. Un campo es conservativo si y sólo si admite un potencial escalar.
Semana 9
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Lunes 13 de mayo. Primer parcial.
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Miércoles 15 de mayo.
Propiedades de la integral. Condición necesaria para que un campo vectorial de clase \(C^1\) sea conservativo. Ejemplos. Abiertos estrellados y Lema de Poincaré. Aquí hay unos garabatos sobre esta clase. -
Viernes 17 de mayo.
Rotor y campos irrotacionales. Los campos gradiente son irrotacionales. Divergencia, campos solenoidales y potenciales vectoriales. Repaso sobre el volumen de paralelepípedos en \(\mathbb{R}^n\).
Semana 10
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Lunes 20 de mayo.
Volúmenes de paralelepípedos y el producto vectorial de vectores. Área de superficies. Casos de gráficos de funciones y de superficies de revolución. -
Miércoles 22 de mayo.
Integrales de superficie. Integración de campos escalares sobre superficies. Independencia con respecto a la parametrización, y propiedades de la integral. Integración de campos vectoriales sobre superficies. Propiedades y ejemplos. -
Viernes 24 de mayo.
Teoremas clásicos. Curvas de Jordan. Teorema de Green. Ejemplos y aplicaciones al cálculo de áreas.
Semana 11
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Lunes 27 de mayo.
Teorema de Green generalizado. -
Miércoles 29 de mayo.
Integral de superficie como medida de masa de fluido. Teorema de Stokes para superficies parametrizadas, ejemplos. -
Viernes 31 de mayo.
Algunos corolarios del teorema de Stokes. Homotopías, conjuntos simplemente conexos. Un campo definido en un abierto simplemente conexo de \(\mathbb{R}^3\) es irrotacional si y sólo si es conservativo. Comentarios sobre la extensión del Lema de Poincaré. Teorema de la divergencia de Gauss (sin demostración). Ejemplos. Orientación de variedades. Repaso sobre orientación de espacios vectoriales. Parametrizaciones compatibles.
Semana 12
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Lunes 3 de junio.
Dos parametrizaciones son compatibles si y sólo si inducen la misma orientación en los espacios tangentes de sus imágenes comunes. Atlas coherentes, orientaciones y variedades orientables. Teorema: si una variedad de codimensión \(n-m\) admite \(n-m\) campos vectoriales continuos y linealmente independientes de vectores normales, entonces la variedad es orientable. En particular la preimagen de un valor regular de un mapa de clase \(C^1\) es una variedad orientable. Teorema: Una variedad diferenciable de codimensión 1 es orientable si y sólo si admite un campo continuo de vectores normales unitarios. Ejemplo de una superficie regular no orientable: la cinta de Möbius. -
Miércoles 5 de junio.
Variedades con borde. Subconjuntos abiertos, borde e interior del semiesepacio \(\mathbb{H}^m\). El borde \(\partial \mathbb{H}^m\) de \(\mathbb{H}^m\) es isomorfos a \(\mathbb{R}^m\). Extensión de las nociones de función diferenciable y de difeomorfismo. Casos de existencia de diferencial. Si entre dos subconjuntos de \(\mathbb{R}^m\), uno de ellos abierto, existe un difeomorfismo, entonces ambos conjuntos son abiertos. En particular \(\mathbb{H}^m\) y \(\mathbb{R}^m\) no son difeomorfos. Un difeomorfismo entre abiertos de \(\mathbb{H}^m\) siempre lleva puntos del borde en puntos del borde. Variedad con borde, parametrizaciones. Borde e interior de una variedad con borde. Variedades sin borde. Si \(M\) es una variedad de dimensión \(m\) cuyo borde es no vacío, entonces el borde es una variedad sin borde (o sea que \(\partial^2 M)=\emptyset\)) de dimensión \(m-1\). El interior de una variedad con borde \(M\) es una variedad sin borde con la misma dimensión que \(M\). Los cambios de parametrizaciones dejan invariantes a \(\mathbb{H}^m\) y a \(\partial \mathbb{H}^m\). -
Viernes 7 de junio.
Si \(\varphi:\mathbb{H}^n\to M\) es una parametrización tal que \(p=\varphi(a)\in\partial M\), entonces \(\{\frac{\partial\varphi}{\partial x_1}(a),\ldots,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{n-1}}(a)\}\) es una base de \(T_p\partial M\). Corolario: \(T_pM=T_p\partial M\oplus\big<\frac{\partial\varphi}{\partial x_{n-1}}(a)\big>\). Vectores entrantes y vectores salientes. Orientación del borde de variedades con borde orientadas. Si \(\varphi(a)=p\in\partial M\) para cierta parametrización \(\varphi\), y \(n_p\) es el vector unitario saliente normal a \(T_p\partial M\), entonces las bases \(\{\frac{\partial\varphi}{\partial x_1}(a),\ldots,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{n}}(a)\}\) y \(\{n_p,\frac{\partial\varphi}{\partial x_1}(a),\ldots,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{n-1}}(a)\}\) de \(T_pM\) tienen la misma orientación si y sólo si \(\textrm{dim}\,M\) es par. Tensores Espacio dual, bases duales, \(k\)-tensores. El conjunto \(\mathcal{T}^k(V^*)\) de \(k\)-tensores es un espacio vectorial de dimensión \((\textrm{dim}\,V)^k\). "Pull-backs" de tensores. El pull-back "conmuta" con el producto tensorial.
Semana 14
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Lunes 10 de junio.
Álgebra exterior. Repaso sobre permutaciones. Tensores alternados. Operador alternador: conmuta con pull-backs y es una proyección de \(\mathcal{T}^k(V^*)\) sobre \(\Lambda^k(V^*)\). Producto exterior. El producto exterior conmuta con pull-backs. Propiedades del producto exterior. -
Miércoles 12 de junio.
Producto exterior de funcionales. El conjunto \(\Lambda^k(V^*)\) de los \(k\)-tensores alternados es un espacio vectorial de dimensión \({\textrm{dim}\,V}\choose{k}\), una de cuyas bases se puede construir tomando productos exteriores de los elementos de una base dual. El teorema del determinante. -
Viernes 14 de junio.
Formas diferenciales en \(\mathbb{R}^n\). Producto exterior de formas. Derivada exterior. Propiedades. Formas exactas y formas cerradas. Formas y campos en \(\mathbb{R}^3\).
Semana 15
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Lunes 17 de junio.
Repaso, y comentarios sobre conjuntos contráctiles, y enunciado de una versión general del Lema de Poincaré. Ejemplo: la forma de ángulo es cerrada pero no es exacta. Pull-backs de formas. El pull-back de una forma diferencial por una función diferenciable es una forma diferencial. -
Miércoles 19 de junio. Satis: no hay clase en recuerdo del cumpleaños de José Artigas.
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Viernes 21 de junio.
Repaso. Pull-backs de \(n\)-formas. La derivada exterior conmuta con pull-backs. Formas diferenciales en variedades. Definición de \(k\)-formas en una variedad. Pull-backs, producto exterior, propiedades. Formas diferenciales. Elemento de volumen en un espacio vectorial orientado con producto interno.
Semana 16
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Lunes 24 de junio.
Forma de volumen en variedades orientadas. Derivada exterior en variedades. Propiedades. Integración de formas en variedades. Integración en \(\mathbb{H}^n\). Integración en entornos coordenados. Independencia de la parametrización -
Miércoles 26 de junio.
Forma de volumen en variedades de dimensión o codimensión 1. Cubrimientos y particiones de la unidad en variedades compactas. Integración en un variedades con borde, orientadas y compactas. Volumen de una variedad compacta. Volumen y longitud. -
Viernes 28 de junio.
Volumen y longitud. Cambios de variable (integral de una forma y de un pull-back de la forma). Integración de funciones en variedades. Teorema de Stokes para una forma diferencial de soporte compacto contenido en un entorno coordenado y disjunto con el borde de la variedad.
Semana 17
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Lunes 1º de julio.
Segundo parcial. -
Miércoles 3 de julio.
Teorema de Stokes para formas diferenciales de soporte compacto. El teorema de Gauss como consecuencia del teorema de Stokes. Fin del curso.Última modificación: viernes 5 de julio de 2019
