Semana Ergódica en Barranquilla


Estoy contento de haber sido invitado a dar estas 7 clases de hora y media sobre teoría ergódica para Emalca 2014 en Barranquilla, Colombia. En esta página iré subiendo las notas para cada lección.

Primeras dos charlas: La Ley de Grandes Números

La teoría ergódica es la intersección entre Probabilidad y Sistemas Dinámicos. En estas dos charlas tratamos los conceptos básicos de Probabilidad basada en Teoría de la Medida y uno de los dos teoremas principales de Probabilidad, la Ley de Grandes Números (el otro resultado básico de probabilidad, el teorema central del límite, no será tratado en este minicurso). Más adelante veremos como este resultado se conecta con el teorema más básico de la teoría ergódica desde el punto de vista dinámico: El llamado teorema ergódico individual (o teorema de ergódico de Birkhoff).

Tercer y cuarta charla: Recurrencia de Poincaré

La Ley de Grandes números permite mostrar que para casi todo número real entre cero y uno cada dígito aparece con la misma frecuencia en su expansión decimal. Hay otra manera de representar los números entre cero y uno, a través de su fracción continua. Un teorema clásico debido a Khinchin da información sobre la fracción continua de casi todo número entre cero y uno. Veremos cómo este resultado se relaciona con la dinámica de una función del intervalo [0,1] en si mismo llamada la applicación de Gauss. Esto nos permite introducir los elementos básicos de la teoría ergódica, transformaciones que preservan una medida. Podremos demostrar que para casi todo número real en [0,1] todos los números naturales aparecen en su fracción continua infinitas veces.

Quinta Charla: El teorema ergódico

Veremos que la Ley de Grandes Números, el Teorema de Khinchin sobre fracciones continuas, y un teorema de equidistribución debido a Weyl, son casos particulares del mismo teorema: El teorema ergódico de Birkhoff. El resto de la clase será dedicada a demostrar el teorema ergódico en el caso ergódico (el caso general está en las notas).

Sexta charla: Cadenas de Markov

Explicaremos brevemente como se define el Google PageRank, uno de los indicadores utilizados por los buscadores web para decidir en qué orden mostrar los resultados de búsqueda. Luego formalizaremos el concepto de cadena de Markov (de estados finitos) y mostraremos que el teorema ergódico implica que los tiempos de ocupación de una cadena irreducible y aperiódica se estabilizan a la de la única probabilidad estacionaria. En particular esto muestra la existencia del Google PageRank y da un método para calcularlo.

Última charla: Información y Entropía de Shannon

Demostraremos el llamado "Teorema de Codificación de Shannon" que impone límites sobre la transmisión de datos a través de un canal. Lo haremos en el caso de canales sin ruido, fuentes ergódicas y estacionarias, y donde la información se codifica usando códigos binarios sin prefijos.

Ejercicios para entregar

Para aprobar el curso se deben realizar y entregar por correo electrónico estos cuatro ejercicios. Se puede, y se recomienda, resolver los ejercicios en grupo y realizar una sola entrega por grupo. También se permite, y se recomienda, consultar toda la bibliografía (libros, wikipedia, scholarpedia, mathoverlow, etc) que se desee. Lo importante es pensar y discutir los ejercicios y, con un poco de trabajo, llegar a entenderlos con claridad.