Def:Bolas abiertas, reducidas y cerradas.
Def: (a) Un punto a de un conjunto A es interior a A, cuando existe una bola de centro a y radio positivo contenida en A. (b) El interior de un conjunto A, designado Aº es el conjunto de los puntos interiores de A. Obs: Un conjunto es abierto cuando coincide con su interior.
Def:
(a) Un punto b de Rn es de acumulación de un conjunto A, cuando toda bola reducida de centro
b tiene puntos de A. (b) El conjunto de los puntos de acumulación de A, designado A', se llama conjutno derivado de A.
(c) La unión de un conjunto con su derivado se llama clausura del conjunto.
Teo: Un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos de acumulación (con dem.), es decir, cuando coincide con su
clausura.
Def: (a) Un punto b de Rn es un punto frontera de un conjunto A, cuando todo entorno de b tiene puntos de
A y de Ac.
(b) La frontera de un conjunto es el conjunto de sus puntos frontera
Def: Un conjunto A es acotado cuando existe H>0 tal que la bola de centro en el origen y radio H contiene al conjunto,
es decir, cuando A contenido en B(0,H).
Ej: El conjunto de los puntos de la forma (n,0), con n natural no es acotado en R2.
Def: Un conjunto A es convexo cuando contiene a todos los intervalos cuyos extremos son puntos de A,
es decir, cuando lx+(1-l)y pertenece a A, si l pertenece a (0,1), y x,y son puntos arbitarios de A.
Viernes 4 de octubre - Clase 3
Def: Una sucesión en Rn es una función con dominio en los naturales {1,2,3,...} y codominio en Rn. Designamos mediante {xk} una tal sucesión, donde xk=(xk1,...,xkn) para cada k=1,2,...
Obs: Una sucesión en Rn es equivalente a n sucesiones en R, formada por las sucesiones de las coordenadas de cada vector, que llamaremos sucesiones coordenadas.
Def: Una subsucesión de una sucesión {xk} dada, es una restricción de la sucesión a un dominio de la forma {k1,k2,...}. Una subsucesión se designa {xkj} (j=1,2,...)
Def [Límite de una sucesión]: Decimos que una sucesión {xk} tiene límite a
(cuando k tiende a infinito), y escribimos lim xk=a, si para todo e>0 existe K tal que
||xk-a||<e para todo k>K.
(Alternativamente, si ||xk-a|| tiende a cero cuando k tiende a infinito.)
Observaciones.
||x||inf<=||x||2<=||x||1<=n||x||inf,
y de aquí se obtiene que la equivalencia de la convergencia con cualquiera de las tres normas.
Corolario: Supongamos que lim xk =a; lim yk =b (en Rn), y lim ck =c (en R). Entonces
Def: Sucesiones de Cauchy en Rn. Una sucesión {xk} es de Cauchy si para todo e>0 existe K tal que ||xi-xj||<e para todo i>K y todo j>K.
Teorema: Una sucesión es de Cauchy en Rn si y solo si es convergente.
Dem: Si es convergente, demostramos que es de Cauchy sumando y restando a en la expresión
||xi-xj||, y aplicando la propiedad triangular.
Si es de Cauchy, demostramos que cada sucesión coordenada es de Cauchy, aplicamos el mismo teorema
en R, y utilizamos la observación 3.
Obs: Un espacio vectorial para el cual vale el teorema anterior (es decir, toda sucesión de Cauchy es convergente
a un vector del espacio) se denomina completo.
Hemos demostrado entonces que el espacio vectorial Rn es completo.
Se puede verificar que tanto Q (los racionales) como Qn (el conjunto de las n-úplas de racionales)
no son conuntos completos (Ejercicio!).
Martes 8 de octubre - Clase 4
Def: Un conjunto en Rn es compacto cuando es cerrado y acotado.
Nos proponemos ahora caracterizar esta propiedad de los conjuntos, la compacidad, medianta la ayuda de las sucesiones. Decimos que una sucesión es acotada cuando su recorrido en Rn es un conjunto acotado.
Teorema [Bolzano-Weierstrass]: Toda sucesión acotada en Rn tiene una subsucesión convergente.
Presentamos dos demostraciones:
(a) Incluimos el recorrido de la sucesión en un hipercubo en Rn. Tomamos como primer elemento
de la subsucesión al primero de la sucesión. Partimos el hipercubo en 2n hipercubos,
y elegimos entre éstos, aquel que contiene infinitas imagenes de la sucesión. El segundo elemento
de la subsucesión es cualquiera de estos puntos. Partimos nuevamente el hipercubo elegido, y repetimos el
procedimiento. Es sencillo demostrar que la subsucesión construida es de Cauchy,
por lo que es convergente.
(b) Observamos que la primer sucesión coordenada es acotada en los reales, y le aplicamos el
teorema de Bolzano-Weierstrass en R, para obtener una subsucesión en Rn cuya primer coordenada converge.
De esta subsucesión elegimos otra subsucesión, tal que la segunda sub(sub)sucesión coordenada sea
convergente. Seguimos así hasta la última coordenada, y obtenemos una subsucesión convergente.
(Es importante observar que la primer demostración no depende del teorema de Bolzano-Weierstrass
en los reales, generalizando su demostracón, mientras que la segunda utiliza el resultado.)
Tenemos ahora el teorema que caracteriza a los compactos por medio de sucesiones.
Teorema: Sea C un subconjunto de Rn. Son equivalentes:
Dem: Suponemos primero que C es compacto (a), y consideramos una sucesón de puntos de C. Como la sucesión es acotada, contiene una subsucesión convergente. Si su límite b no esta en C, esta en su complemento, que es un conjunto abierto, y por lo tanto existe una bola de centro b que no contiene puntos de C. Esto implica que la subsucesión (formada por puntos de C) no puede converger a b, obteniendo una contradicción. Luego, b es un punto de C.
Supongamos ahora (b). Si C no es acotado, existe una sucesión en C cuya norma tiende a infinito, y por lo tanto, no puede tener subsucesiones convergentes. Si C no es cerrado, su complemento no es abierto, y existe un punto en el complemento, tal que una sucesión de bolas con centro en este punto, y radio tendiendo a cero, cada una de las cuales tiene un punto de C. Estos puntos conforman una sucesión que converge a un punto que no es de C, contradiciendo (b) y concluyendo la demostración.
Límites y continuidad de funciones de Rn en Rm
Nuestro objeto de estudio son ahora las funciones f: A -> Rm, donde A es un subconjunto de Rn.
Observemos que conocer una tal función, es equivalente a conocer m funciones, las funciones coordenadas,
dado que si x es un punto de A, f(x) es un punto de Rm,
es decir f(x)=(f1(x),...,fm(x)), cada fj(x), con j=1,...,m, es una función coordenada.
Jueves 10 de octubre - Clase 5
Obs: Si n=m=1 coincide con la definción usual.
Teorema [Pasaje, límite por sucesiones]. Son equivalentes:
Def [Continuidad de una función]: Sea f:A -> Rm, donde A es un subconjunto de Rn.
Propiedades de las funciones continuas: Son las mismas que para funciones reales. Por ejemplo: Si f(x) y g(x) son funciones continuas en a, y c,d son reales, cf(x)+dg(x) es continua en a.
Teorema [Continuidad de la función compuesta]. Sea f:A -> Rm, g: B -> Rp, f(A) contenido en B. Si f es continua en un punto a de A, y g es continua en b=f(a), entonces, la función compuesta h(x)=g(f(x)) es continua en a.
Dem: Sea e>0. Existe e'>0 tal que g(B(b,e') n B) está contenido en B(g(b),e) (por ser g(x) continua en b). Por ser f(x) continua en a, existe d>0 tal que f(B(a,d) n A) está contenido en B(f(a),e'). Por la propiedad transitiva de la inclusión de conjuntos se concluye la demostración.
Llegamos al teorema clave, en el que participan la compacidad y la continuidad.
Teorema [Weierstrass]. Sea f:A -> Rm continua. Si A es compacto, entonces f(A) es compacto.
Dem: Utilizamos la caracterización de la compacidad mediante sucesiones.
Sea {yk} una sucesión de f(A). Existe xk=f(yk), que es una sucesión en
el compacto A, que por lo tanto tiene una subsucesión {xkj} convergente a un punto
a de A. Por continuidad, ykj=f(xkj) tiende a f(a),
que es un punto de f(A). Luego este conjunto verifica la caracterización de compacidad por sucesiones,
concluyendo la demostración.
Viernes 11 de octubre - Clase 6
Corolario 1: Sea f:A -> R continua. Si A es compacto, entonces f(x) alcanza su máximo M y su mínimo m en A. Es decir, existen dos puntos xm y xM en el dominio A, tales que m=f(xm)<=f(x)<=f(xM)=M para todo x en A.
Dem: El conjunto f(A) en este caso es un conjunto compacto de números reales. Por ser acotado, existe el extremo superior E de este conjunto. Si E no estuviese en f(A), sería punto de acumulación de f(A), pero f(A) es cerrado, luego E es un punto de f(A), es decir el máximo, y por lo tanto existe un xM en A tal que f(xM)=E=M. Razonando análogamente con m concluimos la demostración.
Corolario 2: Sea f:[a,b] -> R continua. Entonces f(x) alcanza su máximo y su mínimo en [a,b].
Dem: Basta observar que [a,b] es compacto, por ser acotado y cerrado.
Continuidad y conexión en Rn
Nos proponemos ahora generalizar la propiedad de Darboux,
que dice: f:[a,b] -> R continua. Entonces, dado y tal que m<=y<=M, existe x en [a,b]
tal que f(x)=y.
La clase más general de dominios en Rn para los cuales se verifica este teorema son los
conjuntos conexos. Para su definición vemos primero la siguiente definición.
Def: Un subconjunto A de X (X subconjunto de Rn) se llama abierto relativo en X, o abierto en X, cuando para todo punto a de A, existe e>0 tal que todo x de X, que pertenece a la bola B(a,e) es un punto de A. Es decir B(a,e) n X está contenido en A.
Obs: Si X=Rn tenemos la definición usual de conjunto abierto.
Ejemplo: El intervalo [a,c) es abierto relativo en el intervalo [a,b] (cuando a<c<b).
Def: Un subconjunto X de Rn se llama conexo cuando no existen un par de subconjuntos A y B de X con las siguientes propiedades: (1) A y B son no vacíos; (2) A y B son disjuntos; (3) A u B = X; (4) A y B son abiertos relativos en X. Si un conjunto no es conexo se llama disconexo.
Ejemplo: La recta real R es un conjunto conexo, dado que cualquier subconjunto propio A abierto y no vacio tiene complemento cerrado (y no abierto).
Teorema: Sea f:A -> Rm continua. Si A es conexo, entonces f(A) es conexo.
Obs: Obtenemos entonces que las funciones contunuas preservan la conexón de los conjuntos (además de preservar la compacidad).
Dem: Supongamos (por absurdo) que existen dos subconjuntos C y D de f(X) que verican las 4 propiedades de la definición. Sean A={x: f(x) está en C} y B={x:f(x) está en D}, es decir, las imágenes inversas de C y D por f. Veamos que A y B, subconjuntos de X, también verifican las 4 propiedades. Las tres primeras son inmediatas a partir de la definición de estos conjuntos: de ser vacios, tener puntos comunes, o no completar X al unirse, lo mismo ocurriráa con C y D en f(X). Únicamente para ver la propiedad (4) se utiliza la continuidad. Sea a un punto de A. Como C es abierto relativo, existe e>0 tal que B(f(a),e) n X está contenida en C. Por ser f continua en a, existe d>0 tal que f(B(a,d) n X) está contenido en B(f(a),e). Luego, si x está en B(a,d) n X también está en A, dado que su imagen f(x) está en C. Así vemos que A es abierto relativo, y análogamente resulta B abierto relativo. Entonces X no es conexo. La contradicción provino de suponer que f(X) no era conexo, completando la demostración.
Aplicación: Como R es conexo, y f(x)=sen x es continua en R, con recorrido [-1,1],
obtenemos que [-1,1] es conexo.
Si consideramos la recta que transforma [-1,1]
en cualquier intervalo [a,b], obtenemos que los intervalos cerrados son conexos.
Análogamente, considerando las funciones continuas adecuadas, se demuestra que cualquier intervalo
(finito o infinito) es conexo.
Es sencillo de ver, además que los únicos conexos en R son los intervalos.
Teorema: Sea A un subconjunto de R. Si A es conexo, es un intervalo.
Dem: Si un conjunto A no es un intervalo, entones existen p<q<r reales, tales que p y r están en el conjunto, sin estar en él el punto p. La semirrectas infinitas abiertas determinadas por p, intersectadas con el conjunto, dan los conjuntos que muestran que A no es conexo.
[Cálculo II]
[Centro de Matemática]