Cronograma del curso de Medida 2013

I. Medida de Lebesgue (Ref: Capítulo 1 de [RA])

II. Integración en R^d (Ref: Capítulo 2 de [RA])

Clase 6. Integración de funciones simples (paso 1) e integración de funciones acotadas de soporte de medida finita (paso 2)
Clase 7. Integración de funciones positivas (paso 3) e integración de funciones generales (paso 4)
Clase 8. El espacio L¹(R^d) de funciones integrables
Clase 9. El teorema de Fubini en R^d

III Medida e Integración en espacios abstractos (Ref: Capítulo 6 de [RA])

Clase 10. Espacios de medida abstractos, conjuntos medibles según Carathéodory. Teorema: Los conjuntos medibles Carthéodory forman sigma álgebra.
Clase 11. Premedidas. Teorema de extensión de Carathéodory. Integración en espacios abstractos
Clase 12. Ejemplos: Medidas producto y teorema de Fubini.
Clase 13. Ejemplos: Teorema de Fubini (segunda parte) y Medidas de Borel en R (este tema se basó en la secció 1.5 de Folland)

IV: Diferenciación en R^d (Ref: Capítulo 6 de [RA] )

Clase 14: Lema maximal de Hardy-Littlewood. Teorema de diferenciación de Lebesgue.
Clase 15: Teorema de diferenciación de Lebesgue: generalizaciones para funciones de L¹ local y para familias de entornos que se contraen regularmente. Conjunto de Lebesgue de una función. Funciones de variación acotada y curvas rectificables. Variación positiva y negativa de una función.
Clase 16: Funciones de variación acotada. Teorema: F de variación acotada es diferencia de dos funciones crecientes.
Clase 17: Funciones de variación acotada. Teorema: F es de variación acotada entonces es derivable c.t.p. Corolario 3.7. de [RA].Función de Cantor-Lebesgue.
Clase 18: Teorema: la variación de una función es aditiva en el intervalo. La variación de una función es continua al variar el extremo del intervalo. Teorema: si F:[a,b]-> R es absolutamente continua y su derivada vale cero c.t.p. entonces es constante. Funciones monótonas con saltos. Los saltos son numerables, construcción de la función J(x), Teorema: F(x)-J(x) es continua y creciente.
Clase 19: Teorema: Las funciones de variación acotada son derivables c.t.p. Demostración para funciones con saltos: J'(x)=0 c.t.p.

V. Descomposición y diferenciación de medidas abstractas (Ref: Capítulo 3 de Folland)

Clase 19: Descomposición y diferenciación de medidas abstractas. Medidas con signo. Teorema de Hahn.
Clase 20: Medidas con signo. Teoream de Descomposición de Hahn. Medidas absolutamente continuas (Capítulo 3, Sección 1 de Folland).
Clase 21: Teorema de Lebesgue Radom Nykodim: Enunciado y demostración (Capítulo 3, Sección 2 de Folland)

VI. Aplicaciones de Teoría de la Medida (I): Análisis Funcional

Clase 22: El espacio L²(R^d). Completitud y separabilidad. Espacios de Hilbert, definición y ejemplos. Conjuntos ortonormales y teorema de Pitágoras. (Capítulo 4 de [RA], secciones 4.1 y 4.2)
Clase 23: Bases ortonormales en un espacio de Hilbert. Teorema de equivalencia (Capítulo 4 de [RA], subseccion 4.2.1). Espacios L^p (Sección 6.1 del Folland).

VII. Aplicaciones de Teoría de la Medida (II): Probabilidad

Clase 24. Probabilidad. Axiomas, independencia, variables aleatorias, distribución de una variable. Teorema de Berstein.
Clase 25. Demostración del teorema de Berstein y de la ley débil de los grandes n&uacte;meros
Clase 26. Leyes fuertes de los grandes números. Lema de Borel-Cantelli. Ley fuerte de Kolmogorov con segundo momento. Ley fuerte de Kolmogorov con primer momento.

VIII. Aplicaciones de Teoría de la Medida (II): Teoría Ergódica

Evaluación