Introducción a la probabilidad y estadística (2001) Práctico 10

1. Sea L^{2}(Ω) el conjunto de las variables aleatorias tales que EX^{2} < ∞. Demostrar que ⟨X, Y ⟩ = cov(X, Y) es un producto interno, y deducir que (notando σ_{Z} = \sqrt{varZ}): (a) var(X + Y) ≤ 2(varX + varY); (b) σ_{X+Y} ≤ σ_{X} + σ_{y}.

2. Sea f(x) una función definida en la recta real, no negativa y no decreciente, y sea X una variable aleatoria tal que existe Ef(X). Demostrar la desigualdad P(X ≥ x) ≤ \frac{1}{f(x)}Ef(X) para todo x real, suponiendo que la distribución de X es: (a) discreta; (b) absolutamente continua.

3. (a) Sean X, Y variables aleatorias, tales que EX = 1, EY = 2, varX = 1, varY = 4. Sea Z = 3X − Y + 9. Hallar EZ y varX en cada uno de los siguientes casos: (i) X e Y son independientes, (ii) X e Y son no correlacionadas. (iii) El coeficiente de correlación ρ(X, Y) = 0.6.

(b) Sean X, Y variables aleatorias, tales que EX = EY = 0, varX = varY = 1, ρ(X, Y) = r. Calcular (i) var(X − rY), (ii) el coeficiente de correlación entre X − rY e Y.

4. Sea (X, Y) un vector aleatorio bidimensional con densidad normal con parámetros a_{1}, a_{2}, σ_{1}, σ_{2}, ρ dada en la fórmula (29), página 12, capítulo 3. Demostrar que la correlación ρ(X, Y) vale ρ.

Encontrar ejemplos (fundamentar) de sucesiones de variables aleatorias X, X_{1}, X_{2} …, tales que 5. La sucesión {X_{n}} converge en probabilidad a X pero no converge casi seguramente.

6. La sucesión {X_{n}} converge en probabilidad a X pero no converge en r-media (r ≥ 1).

7. La sucesión {X_{n}} converge en distribución a X pero no converge en en probabilidad.

8. Desigualdad de Jensen. Sea ϕ(x) una función real con derivada segunda continua y positiva en todos los puntos. (a) Demostrar que ϕ(y) − ϕ(x) ≥ ϕ′(x)(y − x) para x, y reales cualesquiera.

(b) Sea X una variable aleatoria tal que existe su esperanza y la de la variable aleatoria ϕ(X). Demostrar que ϕ(EX) ≤ Eϕ(X).

9. (a) Sea {X_{n}} una sucesión de variables aleatorias que converge en media cuadrática. Demostrar que converge en media. (b) Demostrar que E(X_{n})^{m} → EX^{m} cuando n → ∞ para m = 1, 2. (c) Encontrar una sucesión de variables aleatorias que converga en media pero no converga en media cuadrática.

10. Sean {X_{n}} e {Y_{n}} dos sucesiones de variables aleatorias, tales que X_{n} →^{P} X, Y_{n} →^{P} Y, si n → ∞. Demostrar que X_{n} + Y_{n} →^{P} X + Y, si n → ∞.

11. (a) Sea {X_{n}} una sucesión de variables aleatorias, Y una variable aleatoria tal que P(Y = 0) = 1. Demostrar que X_{n} →^{P} 0 si y solo si X_{n} →^{d} Y. (b) Sean {X_{n}} e {Y_{n}} dos sucesiones de variables aleatorias, tales que X_{n} →^{d} X, Y_{n} →^{P} 0, si n → ∞. Demostrar que X_{n} + Y_{n} →^{d} X, si n → ∞.

12. Sean {X_{n}} e {Y_{n}} dos sucesiones de variables aleatorias, tales que X_{n} →^{d} X, Y_{n} →^{P} a, si n → ∞, donde X es una variable aleatoria, a una constante. Demostrar la siguiente proposición (teorema de Cramér-Slutsky): Si se cumplen las condiciones anteriores tienen lugar las afirmaciones X_{n} + Y_{n} →^{d} X + a, X_{n} · Y_{n} →^{d} X · a, \frac{X_{n}}{Y_{n}} →^{d} \frac{X}{a} si a ≠ 0.

13. Sean {X_{n}}, {Y_{n}} sucesiones de variables aleatorias, X variable aleatoria, a constante, g(x) y g(x, y) funciones reales. Demostrar: (a) Si X_{n} →^{P} a y g(x) es continua en a, entonces g(X_{n}) →^{P} g(a); (b) si g(x) es continua en la recta real, entonces g(X_{n}) →^{P} g(X); (c) si g(x, y) es continua en R^{2}, entonces g(X_{n}, Y_{n}) →^{P} g(X, Y).

14. Sea {F_{n}(x)} una sucesión de funciones de distribución, y sea F (x) una función de distribución continua. Demostrar que si F_{n}(x) → F (x) para todo x, entonces esta convergencia es uniforme (teorema de Pólya).